ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 10 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Верно ли утверждение:

1) если \(a > b\), то \(\frac{a}{b} > 1\);

2) если \(a > 1\), то \(\frac{2}{a} < 2\);

3) если \(a < 1\), то \(\frac{2}{a} > 2\);

4) если \(\frac{a}{b} > 1\), то \(a > b\);

5) если \(a^2 > 1\), то \(a > 1\)?

1) Если \(a > b\), то \(\frac{a}{b} > 1\).
Пусть \(a = 1\), \(b = -2\). Тогда \(1 > -2\) верно, а \(\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} < 1\). Ответ: нет. 2) Если \(a > 1\), то \(\frac{2}{a} < 2\). Пусть \(a > 1\). Тогда умножим на \(a\) (положительное число):
\(2 < 2a\), значит \(1 < a\), что верно.
Ответ: да.

3) Если \(a < 1\), то \(\frac{2}{a} > 2\).
Пусть \(a = -1 < 1\). Тогда \(\frac{2}{-1} = -2 < 2\). Ответ: нет. 4) Если \(\frac{a}{b} > 1\), то \(a > b\).
Пусть \(a = -1\), \(b = -\frac{1}{2}\). Тогда \(\frac{-1}{-\frac{1}{2}} = 2 > 1\), но \(-1 \not> -\frac{1}{2}\).
Ответ: нет.

5) Если \(a^{2} > 1\), то \(a > 1\).
Пусть \(a = -2\). Тогда \((-2)^{2} = 4 > 1\), но \(-2 \not> 1\).
Ответ: нет.

Если \(a > b\), то утверждение, что \(\frac{a}{b} > 1\), кажется логичным на первый взгляд, ведь если числитель больше знаменателя, то и дробь должна быть больше единицы. Однако это не всегда так, потому что знак знаменателя влияет на результат. Рассмотрим пример: пусть \(a = 1\), \(b = -2\). Здесь \(1 > -2\) — это верно, так как 1 больше отрицательного числа. Но если посчитать дробь, получим \(\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}\), что меньше 1. Это показывает, что при отрицательном знаменателе неравенство \(\frac{a}{b} > 1\) не выполняется, несмотря на то, что \(a > b\). Значит, утверждение неверно, потому что не учитывается знак знаменателя.

Если \(a > 1\), то утверждение \(\frac{2}{a} < 2\) можно проверить с помощью неравенств и свойств чисел. Поскольку \(a > 1\), это значит, что \(a\) — положительное число больше единицы. Умножим обе части неравенства \(\frac{2}{a} < 2\) на \(a\), учитывая, что при умножении на положительное число знак неравенства сохраняется. Получим \(2 < 2a\), или \(1 < a\). Это совпадает с исходным условием, поэтому утверждение верно. Таким образом, если число \(a\) больше единицы, то дробь \(\frac{2}{a}\) действительно меньше 2.

Если \(a < 1\), утверждение \(\frac{2}{a} > 2\) не всегда верно, особенно если \(a\) отрицательное. Возьмём пример: \(a = -1\). Тогда \(a < 1\) действительно выполняется, так как \(-1\) меньше 1. Но \(\frac{2}{a} = \frac{2}{-1} = -2\), а \(-2\) не больше 2. Это показывает, что если \(a\) отрицательное, то утверждение неверно. Следовательно, утверждение не выполняется для всех чисел, меньших единицы, и нужно учитывать знак \(a\). Если \(\frac{a}{b} > 1\), то утверждение, что \(a > b\), кажется логичным, так как если дробь больше единицы, числитель должен быть больше знаменателя. Однако это не всегда так, потому что при отрицательных значениях числителя и знаменателя ситуация меняется. Рассмотрим пример: \(a = -1\), \(b = -\frac{1}{2}\). Тогда \(\frac{a}{b} = \frac{-1}{-\frac{1}{2}} = 2 > 1\), но при этом \(a = -1\) не больше \(b = -\frac{1}{2}\), так как \(-1 < -\frac{1}{2}\). Значит, утверждение неверно, потому что сравнение числителя и знаменателя не всегда совпадает с величиной дроби, если числа отрицательные. Если \(a^{2} > 1\), то утверждение \(a > 1\) неверно, так как квадрат числа всегда положителен, и число может быть как больше 1, так и меньше -1. Например, возьмём \(a = -2\). Тогда \(a^{2} = (-2)^{2} = 4 > 1\), но \(a = -2\) не больше 1. Это показывает, что условие на квадрат числа не даёт однозначного ответа о самом числе \(a\), оно может быть как положительным, так и отрицательным, лишь бы по модулю было больше единицы. Следовательно, утверждение неверно.