ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1017 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Последовательность \((a_n)\) задана формулой n-го члена \(a_n = n^2 — 4n + 4\). Найдите шесть первых членов этой последовательности. Является ли членом этой последовательности число:

1) 256;

2) 361;

3) 1000;

4) 10 000? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Дана формула: \(a_n = n^2 — 4n + 4\)

1) \(a_n = 256\)
\((n-2)^2 = 256\)
\(n-2 = 16\)
\(n = 18\)
да; 18.

2) \(a_n = 361\)
\((n-2)^2 = 361\)
\(n-2 = 19\)
\(n = 21\)
да; 21.

3) \(a_n = 1000\)
\((n-2)^2 = 1000\)
\(n-2 = 10\sqrt{10}\)
нет.

4) \(a_n = 10\,000\)
\((n-2)^2 = 10\,000\)
\(n-2 = 100\)
\(n = 102\)
да; 102.

1) \(a_n = 256\)

Запишем формулу: \(a_n = n^2 — 4n + 4\)

Подставим значение: \(n^2 — 4n + 4 = 256\)

Переносим 256 влево: \(n^2 — 4n + 4 — 256 = 0\)

Упрощаем: \(n^2 — 4n — 252 = 0\)

Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 16 + 1008 = 1024\)

Находим корни: \(n = \frac{4 \pm 32}{2}\)

Первый корень: \(n = \frac{4 + 32}{2} = \frac{36}{2} = 18\)

Второй корень: \(n = \frac{4 — 32}{2} = \frac{-28}{2} = -14\)

Так как номер члена последовательности должен быть положительным, ответ: да; 18.

2) \(a_n = 361\)

Запишем формулу: \(n^2 — 4n + 4 = 361\)

Переносим 361 влево: \(n^2 — 4n + 4 — 361 = 0\)

Упрощаем: \(n^2 — 4n — 357 = 0\)

Решаем квадратное уравнение: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-357) = 16 + 1428 = 1444\)

Находим корни: \(n = \frac{4 \pm 38}{2}\)

Первый корень: \(n = \frac{4 + 38}{2} = \frac{42}{2} = 21\)

Второй корень: \(n = \frac{4 — 38}{2} = \frac{-34}{2} = -17\)

Положительный корень: да; 21.

3) \(a_n = 1000\)

Запишем формулу: \(n^2 — 4n + 4 = 1000\)

Переносим 1000 влево: \(n^2 — 4n + 4 — 1000 = 0\)

Упрощаем: \(n^2 — 4n — 996 = 0\)

Решаем квадратное уравнение: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-996) = 16 + 3984 = 4000\)

Находим корни: \(n = \frac{4 \pm 63.245…}{2}\)

Корни не являются целыми числами, значит такого члена нет: нет.

4) \(a_n = 10\,000\)

Запишем формулу: \(n^2 — 4n + 4 = 10\,000\)

Переносим 10\,000 влево: \(n^2 — 4n + 4 — 10\,000 = 0\)

Упрощаем: \(n^2 — 4n — 9996 = 0\)

Решаем квадратное уравнение: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9996) = 16 + 39984 = 40000\)

Находим корни: \(n = \frac{4 \pm 200}{2}\)

Первый корень: \(n = \frac{4 + 200}{2} = \frac{204}{2} = 102\)

Второй корень: \(n = \frac{4 — 200}{2} = \frac{-196}{2} = -98\)

Положительный корень: да; 102.