ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1021 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Какие номера имеют члены арифметической прогрессии 8, 11, 14, …, большие 100, но меньшие 200?

Дано: \(a_1 = 8\), \(d = 3\).
Формула: \(a_n = 8 + 3(n-1)\).
Условие: \(100 < a_n < 200\).
\(100 < 8 + 3(n-1) < 200\)
\(100 < 8 + 3n — 3 < 200\)
\(100 < 3n + 5 < 200\)
\(95 < 3n < 195\)
\(\frac{95}{3} < n < \frac{195}{3}\)
\(31\frac{2}{3} < n < 65\)
\(n = 32, 33, \ldots, 64\)

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа, называемого разностью прогрессии. В данном случае первый член прогрессии равен \(a_1 = 8\), а разность прогрессии равна \(d = 3\), потому что \(a_2 = 11\), а \(11 — 8 = 3\). Формула для нахождения любого члена арифметической прогрессии выглядит так: \(a_n = a_1 + d(n-1)\). Если подставить известные значения, получится: \(a_n = 8 + 3(n-1)\).

Необходимо определить, при каких значениях номера члена прогрессии \(n\) выполняются условия \(a_n > 100\) и \(a_n < 200\), то есть найти такие номера \(n\), при которых член прогрессии больше 100, но меньше 200. Для этого составим двойное неравенство: \(100 < a_n < 200\). Подставляем формулу: \(100 < 8 + 3(n-1) < 200\). Далее раскрываем скобки: \(100 < 8 + 3n — 3 < 200\). Упрощаем выражение: \(100 < 3n + 5 < 200\). Чтобы избавиться от лишнего числа, вычтем 5 из всех частей неравенства: \(95 < 3n < 195\). Теперь обе стороны выражения зависят только от \(n\).

Чтобы получить диапазон возможных значений \(n\), делим все части неравенства на 3: \(\frac{95}{3} < n < \frac{195}{3}\). Получаем \(\frac{95}{3} = 31\frac{2}{3}\), а \(\frac{195}{3} = 65\). Поскольку номер члена прогрессии должен быть натуральным числом, то \(n\) может принимать значения от 32 до 64 включительно. Это значит, что все члены прогрессии с номерами \(n = 32, 33, 34, \ldots, 64\) будут больше 100, но меньше 200.