ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1024 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите катеты треугольника, если его гипотенуза равна 4 см.

Пусть катеты \(a\) и \(b\), гипотенуза \(4\).

По теореме Пифагора:
\(a^{2} + b^{2} = 16\)

В арифметической прогрессии:
\(b = \frac{a + 4}{2}\)

\(2b = a + 4\)

\(a = 2b — 4\)

Подставим в уравнение:
\((2b — 4)^{2} + b^{2} = 16\)

\(4b^{2} — 16b + 16 + b^{2} = 16\)

\(5b^{2} — 16b = 0\)

\(b(5b — 16) = 0\)

\(b = 3{,}2\)

\(a = 2 \cdot 3{,}2 — 4 = 2{,}4\)

Ответ: \(2{,}4\) см и \(3{,}2\) см

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна \(4\) см, а катеты обозначим как \(a\) и \(b\). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника верно равенство: \(a^{2} + b^{2} = 4^{2}\), то есть \(a^{2} + b^{2} = 16\). По условию задачи стороны треугольника (катеты и гипотенуза) образуют арифметическую прогрессию, значит их значения расположены так: \(a\), \(b\), \(4\). Для арифметической прогрессии справедливо, что средний член равен полусумме крайних членов, то есть \(b = \frac{a + 4}{2}\). Это свойство арифметической прогрессии позволяет выразить один катет через другой.

Далее выразим \(a\) через \(b\). Умножим обе части равенства \(b = \frac{a + 4}{2}\) на \(2\), получим \(2b = a + 4\), отсюда \(a = 2b — 4\). Теперь подставим это выражение для \(a\) в уравнение Пифагора: \((2b — 4)^{2} + b^{2} = 16\). Раскроем скобки: \((2b — 4)^{2} = 4b^{2} — 16b + 16\), тогда уравнение примет вид: \(4b^{2} — 16b + 16 + b^{2} = 16\). Приведем подобные члены: \(4b^{2} + b^{2} = 5b^{2}\), получаем \(5b^{2} — 16b + 16 = 16\).

Теперь перенесем \(16\) из правой части в левую, чтобы получить уравнение с нулем: \(5b^{2} — 16b + 16 — 16 = 0\), то есть \(5b^{2} — 16b = 0\). Вынесем \(b\) за скобку: \(b(5b — 16) = 0\). Это уравнение имеет два корня: \(b = 0\) и \(5b — 16 = 0\), откуда \(b = \frac{16}{5} = 3{,}2\) см. Катет не может быть равен нулю, поэтому принимаем \(b = 3{,}2\) см. Теперь найдем второй катет по формуле \(a = 2b — 4\): \(a = 2 \cdot 3{,}2 — 4 = 6{,}4 — 4 = 2{,}4\) см.

Проверим, действительно ли стороны \(2{,}4\), \(3{,}2\) и \(4\) образуют арифметическую прогрессию. Разность между соседними членами: \(3{,}2 — 2{,}4 = 0{,}8\), \(4 — 3{,}2 = 0{,}8\), значит прогрессия верна. Проверим теорему Пифагора: \(2{,}4^{2} + 3{,}2^{2} = 5{,}76 + 10{,}24 = 16\), что совпадает с квадратом гипотенузы. Таким образом, оба условия задачи выполнены.

Ответ: \(2{,}4\) см и \(3{,}2\) см