ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1026 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 12, а сумма их квадратов равна 80. Найдите эти числа.

Пусть числа: \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\).
\(a_1 + a_2 + a_3 = 12\)
\(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 80\)
Пусть \(a_2\) — средний член, \(d\) — разность.
\(a_1 = a_2 — d\), \(a_2 = a_2\), \(a_3 = a_2 + d\)
\(a_1 + a_2 + a_3 = (a_2 — d) + a_2 + (a_2 + d) = 3a_2 = 12\)
\(a_2 = \frac{12}{3} = 4\)
\((4 — d)^2 + 4^2 + (4 + d)^2 = 80\)
\(16 — 8d + d^2 + 16 + 16 + 8d + d^2 = 80\)
\(48 + 2d^2 = 80\)
\(2d^2 = 32\)
\(d^2 = 16\)
\(d = 4\)
\(a_1 = 4 — 4 = 0\)
\(a_2 = 4\)
\(a_3 = 4 + 4 = 8\)
0; 4; 8

Пусть три числа арифметической прогрессии обозначаются как \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\). Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа, называемого разностью прогрессии. Тогда, если \(a_2\) — средний член прогрессии, а \(d\) — её разность, можно записать: \(a_1 = a_2 — d\), \(a_2 = a_2\), \(a_3 = a_2 + d\). Зная, что сумма этих трёх чисел равна 12, получаем уравнение: \((a_2 — d) + a_2 + (a_2 + d) = 12\). Преобразуем его: \(a_2 — d + a_2 + a_2 + d = 12\). Заметим, что \(-d + d = 0\), поэтому остаётся \(3a_2 = 12\). Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти \(a_2\): \(a_2 = \frac{12}{3} = 4\).

Теперь воспользуемся вторым условием задачи: сумма квадратов этих трёх чисел равна 80. Подставим найденное значение \(a_2 = 4\) и выразим сумму квадратов через \(d\): \((4 — d)^2 + 4^2 + (4 + d)^2 = 80\). Раскроем скобки: \((4 — d)^2 = 16 — 8d + d^2\), \(4^2 = 16\), \((4 + d)^2 = 16 + 8d + d^2\). Складываем: \(16 — 8d + d^2 + 16 + 16 + 8d + d^2 = 80\). Группируем подобные слагаемые: \(16 + 16 + 16 = 48\), \(-8d + 8d = 0\), \(d^2 + d^2 = 2d^2\). Получаем уравнение: \(48 + 2d^2 = 80\). Выразим \(2d^2\): \(2d^2 = 80 — 48 = 32\), отсюда \(d^2 = \frac{32}{2} = 16\). Найдём разность: \(d = 4\), так как числа возрастают.

Теперь подставим найденные значения \(a_2 = 4\) и \(d = 4\) в формулы для членов прогрессии. Первый член: \(a_1 = 4 — 4 = 0\). Второй член: \(a_2 = 4\). Третий член: \(a_3 = 4 + 4 = 8\). Проверим условия задачи: сумма \(0 + 4 + 8 = 12\) совпадает с данным условием, сумма квадратов \(0^2 + 4^2 + 8^2 = 0 + 16 + 64 = 80\) также совпадает. Значит, решение найдено верно.

Ответ: 0; 4; 8