ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1028 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если:

1) длины сторон \(a, b, c\) треугольника образуют арифметическую прогрессию, то \(ac = 6Rr\), где \(R\) и \(r\) — соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника;

2) длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, то её разность равна радиусу вписанной окружности этого треугольника;

3) длины сторон треугольника с углом \(120^\circ\) образуют арифметическую прогрессию, то они относятся как \(3:5:7\).

1) Пусть \(a, b, c\) — стороны треугольника, образуют арифметическую прогрессию: \(b = \frac{a+c}{2}\).
Известно: \(ac = 6Rr\), где \(R = \frac{abc}{4S}\), \(r = \frac{2S}{a+b+c}\).
Тогда:
\(ac = 6 \cdot \frac{abc}{4S} \cdot \frac{2S}{a+b+c} = 3abc \cdot \frac{1}{a+b+c}\)
\(ac(a+b+c) = 3abc\)
\(a+c = 2b\), \(b = \frac{a+c}{2}\)
Равенство доказано.

2) Пусть \(a, b, c\) — стороны прямоугольного треугольника, образуют арифметическую прогрессию: \(b = a+d\), \(c = a+2d\).
По теореме Пифагора: \((a+2d)^{2} = a^{2} + (a+d)^{2}\)
\(a^{2} + 4ad + 4d^{2} = a^{2} + a^{2} + 2ad + d^{2}\)
\(a^{2} + 4ad + 4d^{2} = 2a^{2} + 2ad + d^{2}\)
\(a^{2} + 4ad + 4d^{2} — 2a^{2} — 2ad — d^{2} = 0\)
\(-a^{2} + 2ad + 3d^{2} = 0\)
\(a^{2} — 2ad — 3d^{2} = 0\)
\((a-3d)(a+d) = 0\), значит \(a = 3d\)
Радиус вписанной окружности: \(r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{a+(a+d)-(a+2d)}{2} = \frac{a-d}{2}\)
\(a = 3d\), значит \(r = \frac{3d-d}{2} = d\)
Равенство доказано.

3) Пусть угол \(C = 120^{\circ}\), стороны \(a, b, c\) — арифметическая прогрессия: \(b = a+d\), \(c = a+2d\).
По теореме косинусов: \(c^{2} = a^{2} + b^{2} — 2ab \cdot \cos 120^{\circ}\)
\(\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}\)
\(c^{2} = a^{2} + b^{2} + ab\)
\((a+2d)^{2} = a^{2} + (a+d)^{2} + a(a+d)\)
\(a^{2} + 4ad + 4d^{2} = a^{2} + a^{2} + 2ad + d^{2} + a^{2} + ad\)
\(a^{2} + 4ad + 4d^{2} = 3a^{2} + 3ad + d^{2}\)
\(a^{2} + 4ad + 4d^{2} — 3a^{2} — 3ad — d^{2} = 0\)
\(-2a^{2} + ad + 3d^{2} = 0\)
\(2a^{2} — ad — 3d^{2} = 0\)
\(a = \frac{3}{2}d\)
\(b = a + d = \frac{5}{2}d\)
\(c = a + 2d = \frac{7}{2}d\)
Отношение сторон: \(a : b : c = 3 : 5 : 7\)
Равенство доказано.

1) Пусть стороны треугольника \(a, b, c\) образуют арифметическую прогрессию. Тогда \(b = \frac{a+c}{2}\). Известно, что радиус описанной окружности \(R = \frac{abc}{4S}\), а радиус вписанной окружности \(r = \frac{2S}{a+b+c}\), где \(S\) — площадь треугольника. Подставим эти формулы в выражение \(ac = 6Rr\):

\(ac = 6 \cdot \frac{abc}{4S} \cdot \frac{2S}{a+b+c}\)

Упростим выражение: \(6 \cdot \frac{abc}{4S} \cdot \frac{2S}{a+b+c} = \frac{6abc}{4S} \cdot \frac{2S}{a+b+c} = \frac{12abcS}{4S(a+b+c)} = \frac{3abc}{a+b+c}\)

Домножим обе части на \(a+b+c\): \(ac(a+b+c) = 3abc\)

Поскольку \(a, b, c\) — арифметическая прогрессия, то \(a+c = 2b\), следовательно \(a+b+c = a + b + c = a + \frac{a+c}{2} + c = \frac{3a+3c}{2} = \frac{3(a+c)}{2} = 3b\).

Подставим это значение: \(ac \cdot 3b = 3abc\). Сократим на \(3b\) (так как \(b \neq 0\)): \(ac = ac\). Таким образом, равенство верно.

2) Пусть стороны прямоугольного треугольника \(a, b, c\) образуют арифметическую прогрессию: \(b = a+d\), \(c = a+2d\), где \(d\) — разность прогрессии. По теореме Пифагора: \((a+2d)^{2} = a^{2} + (a+d)^{2}\).

Раскроем скобки: \(a^{2} + 4ad + 4d^{2} = a^{2} + a^{2} + 2ad + d^{2}\)

Сгруппируем и перенесём всё в одну сторону: \(a^{2} + 4ad + 4d^{2} — 2a^{2} — 2ad — d^{2} = 0\)

Упростим: \(-a^{2} + 2ad + 3d^{2} = 0\)

Перенесём всё в одну сторону: \(a^{2} — 2ad — 3d^{2} = 0\)

Разложим на множители: \((a-3d)(a+d) = 0\)

Так как стороны треугольника положительны, \(a+d > 0\), значит \(a = 3d\).

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника равен \(r = \frac{a+b-c}{2}\).

Подставим значения: \(r = \frac{a + (a+d) — (a+2d)}{2} = \frac{a + a + d — a — 2d}{2} = \frac{a — d}{2}\).

Так как \(a = 3d\), получаем \(r = \frac{3d-d}{2} = \frac{2d}{2} = d\).

Значит, разность арифметической прогрессии равна радиусу вписанной окружности.

3) Пусть стороны треугольника \(a, b, c\) образуют арифметическую прогрессию: \(b = a+d\), \(c = a+2d\), угол между сторонами \(a\) и \(b\) равен \(120^{\circ}\).

По теореме косинусов: \(c^{2} = a^{2} + b^{2} — 2ab \cdot \cos 120^{\circ}\).

Поскольку \(\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}\), получаем: \(c^{2} = a^{2} + b^{2} + ab\).

Подставим выражения для сторон: \((a+2d)^{2} = a^{2} + (a+d)^{2} + a(a+d)\).

Раскроем скобки: \(a^{2} + 4ad + 4d^{2} = a^{2} + a^{2} + 2ad + d^{2} + a^{2} + ad\).

Соберём все слагаемые: \(a^{2} + 4ad + 4d^{2} = 3a^{2} + 3ad + d^{2}\).

Переносим всё в одну сторону: \(a^{2} + 4ad + 4d^{2} — 3a^{2} — 3ad — d^{2} = 0\).

Упростим: \(-2a^{2} + ad + 3d^{2} = 0\).

Переносим: \(2a^{2} — ad — 3d^{2} = 0\).

Пусть \(a = k d\), тогда \(2(k d)^{2} — k d \cdot d — 3d^{2} = 0\), то есть \(2k^{2}d^{2} — k d^{2} — 3d^{2} = 0\), \(d^{2}(2k^{2} — k — 3) = 0\).

Значит, \(2k^{2} — k — 3 = 0\).

Решаем квадратное уравнение: \(k = \frac{1 \pm \sqrt{1+24}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4}\).

Берём положительный корень: \(k = \frac{6}{4} = 1.5\).

Тогда \(a = 1.5d\), \(b = a + d = 2.5d\), \(c = a + 2d = 3.5d\).

Домножим все стороны на 2 для целых чисел: \(a : b : c = 3 : 5 : 7\).

Отношение сторон треугольника с углом \(120^{\circ}\), если они образуют арифметическую прогрессию: \(3 : 5 : 7\).