ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 103 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решением какого из данных неравенств является любое действительное число:

1) \(x^2 \geq 0\);

2) \(x > -x\);

3) \(-x^2 \leq 0\);

4) \(\sqrt{x^2} \geq 0\)?

Рассмотрим первое неравенство \(x^2 > 0\). Квадрат числа всегда неотрицателен, но не обязательно больше нуля. Если \(x = 0\), то \(x^2 = 0\), значит неравенство не выполняется для всех чисел. Значит, это не всегда верно.

Теперь второе неравенство \(x > -x\). Переносим \(-x\) вправо: \(x + x > 0\), или \(2x > 0\). Делим обе части на 2, получаем \(x > 0\). Значит, неравенство верно только для положительных \(x\), а не для всех.

Третье неравенство \(-x^2 \leq 0\). Умножим обе части на \(-1\) (при этом знак неравенства меняется): \(x^2 \geq 0\). Квадрат любого числа всегда неотрицателен, значит это неравенство верно для всех \(x\).

Четвёртое неравенство \(\sqrt{x^2} \geq 0\). Корень квадратный из квадрата числа равен модулю этого числа, а модуль всегда неотрицателен. Значит, это неравенство также верно для всех \(x\).

Из всех четырёх вариантов только третье неравенство \(-x^2 \leq 0\) всегда выполняется для всех значений \(x\).

Ответ: 3)

Рассмотрим первое неравенство \(x^{2} > 0\). Квадрат любого числа \(x\) неотрицателен, то есть \(x^{2} \geq 0\), но не всегда строго больше нуля. При \(x = 0\) имеем \(x^{2} = 0\), значит неравенство \(x^{2} > 0\) не выполняется для всех чисел.

Второе неравенство \(x > -x\) можно переписать как \(x + x > 0\), то есть \(2x > 0\). Делим обе части на 2 и получаем \(x > 0\). Значит, это неравенство верно только для положительных чисел \(x\), а не для всех.

Третье неравенство \(-x^{2} \leq 0\) можно умножить на \(-1\), при этом знак неравенства меняется на противоположный, и получаем \(x^{2} \geq 0\). Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, это неравенство верно для всех \(x\).

Четвёртое неравенство \(\sqrt{x^{2}} \geq 0\) верно, так как \(\sqrt{x^{2}} = |x|\) и модуль любого числа неотрицателен. Значит, оно также выполняется для всех \(x\).

Таким образом, из всех вариантов только третье неравенство \(-x^{2} \leq 0\) всегда верно для всех значений \(x\).

Ответ: 3)