ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1030 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Третий член арифметической прогрессии равен 11, а седьмой равен 27. Сколько надо взять членов этой прогрессии, чтобы их сумма была равной 2532?

Дано: \(a_3 = 11\), \(a_7 = 27\), \(S_n = 253\)

\(a_3 = a_1 + 2d\), \(a_7 = a_1 + 6d\)

\(a_1 + 2d = 11\)

\(a_1 + 6d = 27\)

\(a_1 + 6d — (a_1 + 2d) = 27 — 11\)

\(4d = 16\)

\(d = 4\)

\(a_1 = 11 — 2 \times 4 = 11 — 8 = 3\)

\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\)

\(S_n = \frac{2 \times 3 + 4(n-1)}{2} \cdot n = 253\)

\(\frac{6 + 4n — 4}{2} \cdot n = 253\)

\(\frac{4n + 2}{2} \cdot n = 253\)

\((2n + 1)n = 253\)

\(2n^2 + n — 253 = 0\)

\(D = 1^2 — 4 \times 2 \times (-253) = 1 + 2024 = 2025\)

\(n_1 = \frac{-1 + 45}{4} = 11\)

\(n_2 = \frac{-1 — 45}{4} = -11.5\)

Ответ: \(11\) членов.

В задании нам даны два члена арифметической прогрессии: третий член \(a_3\), равный 11, и седьмой член \(a_7\), равный 27. Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается прибавлением постоянной разности \(d\) к предыдущему члену. Формула для нахождения любого члена прогрессии имеет вид \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(a_1\) — первый член, \(d\) — разность прогрессии, а \(n\) — номер члена. Подставляя в эту формулу данные из условия, получаем два уравнения: \(a_3 = a_1 + 2d = 11\) и \(a_7 = a_1 + 6d = 27\). Эти уравнения позволяют нам составить систему с двумя неизвестными — \(a_1\) и \(d\).

Чтобы найти значения \(a_1\) и \(d\), рассмотрим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
a_1 + 2d = 11 \\
a_1 + 6d = 27
\end{cases}
\]
Вычитая первое уравнение из второго, мы избавляемся от \(a_1\):
\[
(a_1 + 6d) — (a_1 + 2d) = 27 — 11,
\]
что упрощается до
\[
4d = 16.
\]
Отсюда находим разность прогрессии:
\[
d = \frac{16}{4} = 4.
\]
Подставляя это значение обратно в первое уравнение, получаем:
\[
a_1 + 2 \times 4 = 11, \quad \text{то есть} \quad a_1 + 8 = 11, \quad \text{следовательно} \quad a_1 = 3.
\]
Таким образом, первый член прогрессии равен 3, а разность между членами равна 4.

Теперь нам нужно определить количество членов \(n\) в прогрессии, учитывая, что сумма всех этих членов равна \(S_n = 253\). Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии записывается как
\[
S_n = \frac{n}{2} \times (2a_1 + d(n-1)).
\]
Подставим известные значения \(a_1 = 3\), \(d = 4\) и сумму \(S_n = 253\):
\[
253 = \frac{n}{2} \times (2 \times 3 + 4(n-1)).
\]
Раскроем скобки внутри выражения:
\[
2 \times 3 = 6, \quad 4(n-1) = 4n — 4,
\]
следовательно,
\[
253 = \frac{n}{2} \times (6 + 4n — 4) = \frac{n}{2} \times (4n + 2).
\]
Упростим выражение:
\[
253 = \frac{n}{2} \times (4n + 2) = n \times \frac{4n + 2}{2} = n \times (2n + 1).
\]
Получаем уравнение
\[
n(2n + 1) = 253,
\]
которое можно переписать в виде квадратного уравнения:
\[
2n^2 + n — 253 = 0.
\]

Решим это квадратное уравнение по формуле корней:
\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a},
\]
где \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -253\). Сначала найдем дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \times 2 \times (-253) = 1 + 2024 = 2025.
\]
Извлечем корень из дискриминанта:
\[
\sqrt{2025} = 45.
\]
Подставляем в формулу корней:
\[
n_1 = \frac{-1 + 45}{2 \times 2} = \frac{44}{4} = 11,
\]
\[
n_2 = \frac{-1 — 45}{4} = \frac{-46}{4} = -11.5.
\]
Так как количество членов \(n\) не может быть отрицательным числом, отбрасываем \(n_2\). Следовательно, количество членов в арифметической прогрессии равно 11.