ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1032 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сумма трёх первых членов арифметической прогрессии равна 3, сумма четырёх первых членов равна 16, а сумма всех членов равна 220. Найдите количество членов этой прогрессии.

Дано: \(S_3 = 3\), \(S_4 = 16\), \(S_n = 220\).

Запишем формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\)

Для \(S_3\):
\(\frac{2a_1 + 2d}{2} \cdot 3 = 3\)
\(3(a_1 + d) = 3\)
\(a_1 + d = 1\)
\(a_1 = 1 — d\)

Для \(S_4\):
\(\frac{2a_1 + 3d}{2} \cdot 4 = 16\)
\(2(2a_1 + 3d) = 16\)
\(2(2(1-d) + 3d) = 16\)
\(2(2 — 2d + 3d) = 16\)
\(2(2 + d) = 16\)
\(2 + d = 8\)
\(d = 6\)
\(a_1 = 1 — 6 = -5\)

Подставим в формулу суммы:
\(\frac{2 \cdot (-5) + 6(n-1)}{2} \cdot n = 220\)
\(\frac{-10 + 6n — 6}{2} \cdot n = 220\)
\(\frac{6n — 16}{2} \cdot n = 220\)
\((3n — 8)n = 220\)
\(3n^2 — 8n — 220 = 0\)

Решим квадратное уравнение:
\(D = (-8)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-220) = 64 + 2640 = 2704\)
\(n = \frac{8 \pm 52}{6}\)
\(n_1 = \frac{60}{6} = 10\)
\(n_2 = \frac{-44}{6} = -7.\overline{3}\)

Ответ: \(10\) членов.

1. Пусть первый член арифметической прогрессии равен \(a_1\), а разность прогрессии равна \(d\). Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\). По условию задачи известно, что сумма первых трёх членов равна трём, то есть \(S_3 = 3\). Подставляем \(n = 3\) в формулу: \(S_3 = \frac{2a_1 + 2d}{2} \cdot 3\). Раскроем скобки: \(\frac{2a_1 + 2d}{2} = a_1 + d\), значит \(S_3 = 3(a_1 + d)\). Приравниваем к 3: \(3(a_1 + d) = 3\), отсюда \(a_1 + d = 1\).

2. Теперь используем второе условие: сумма первых четырёх членов равна шестнадцати, то есть \(S_4 = 16\). Подставляем \(n = 4\) в формулу: \(S_4 = \frac{2a_1 + 3d}{2} \cdot 4\). Упростим выражение: \(\frac{2a_1 + 3d}{2} \cdot 4 = 2(2a_1 + 3d)\), то есть \(2a_1 + 3d = 8\). Теперь у нас есть два уравнения: \(a_1 + d = 1\) и \(2a_1 + 3d = 8\). Выразим \(a_1\) из первого уравнения: \(a_1 = 1 — d\). Подставим это значение во второе уравнение: \(2(1 — d) + 3d = 8\), раскрываем скобки: \(2 — 2d + 3d = 8\), приводим подобные: \(2 + d = 8\), значит \(d = 6\). Теперь найдём \(a_1\): \(a_1 = 1 — d = 1 — 6 = -5\).

3. По условию задачи, сумма первых \(n\) членов равна 220, то есть \(S_n = 220\). Подставим найденные значения \(a_1 = -5\) и \(d = 6\) в основную формулу: \(S_n = \frac{2 \cdot (-5) + 6(n-1)}{2} \cdot n\). Сначала вычислим \(2 \cdot (-5) = -10\), затем \(6(n-1) = 6n — 6\). Складываем: \(-10 + 6n — 6 = 6n — 16\). Теперь формула принимает вид: \(S_n = \frac{6n — 16}{2} \cdot n\). Перепишем: \(S_n = (3n — 8) \cdot n\). Приравниваем к 220: \((3n — 8) \cdot n = 220\). Получаем квадратное уравнение: \(3n^2 — 8n — 220 = 0\).

4. Для решения квадратного уравнения \(3n^2 — 8n — 220 = 0\) находим дискриминант: \(D = (-8)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-220)\). Считаем: \((-8)^2 = 64\), \(4 \cdot 3 = 12\), \(12 \cdot 220 = 2640\), так как минус на минус даёт плюс, прибавляем: \(64 + 2640 = 2704\). Теперь найдём корни уравнения по формуле: \(n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 3\), \(b = -8\), \(D = 2704\). Корень из 2704 равен 52, поэтому \(n = \frac{8 \pm 52}{6}\).

5. Считаем оба значения: первое \(n_1 = \frac{8 + 52}{6} = \frac{60}{6} = 10\), второе \(n_2 = \frac{8 — 52}{6} = \frac{-44}{6} = -7.\overline{3}\). Так как количество членов прогрессии не может быть отрицательным, оставляем только положительный корень: \(n = 10\).

Ответ: \(n = 10\).