ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1037 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дана геометрическая прогрессия \((b_n)\) со знаменателем \(q\). Найдите:

1) \(b_n\), если \(b_1 = -19\), \(q = -3;\)

2) \(q\), если \(b_5 = \frac{27}{32}\), \(b_9 = \frac{3}{32};\)

3) сумму семи первых членов прогрессии, если \(b_1 = 192\), \(q = 2;\)

4) сумму пяти первых членов прогрессии, если \(b_1 = \frac{9}{6}\), \(q = 3.\)

\(b_n = -19 \cdot (-3)^{n-1}\)

\(q = \frac{1}{3}\)

\(S_7 = 381\)

\(S_5 = 13\sqrt{6} + 12\sqrt{2}\)

1. Формула n-го члена геометрической прогрессии: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Подставляем данные: \(b_1 = -19\), \(q = -3\). Получаем: \(b_n = -19 \cdot (-3)^{n-1}\).

2. Запишем два уравнения: \(b_5 = b_1 \cdot q^4 = \frac{27}{32}\), \(b_9 = b_1 \cdot q^8 = \frac{3}{32}\). Разделим второе на первое: \(\frac{b_9}{b_5} = \frac{b_1 \cdot q^8}{b_1 \cdot q^4} = q^4\). Тогда: \(q^4 = \frac{\frac{3}{32}}{\frac{27}{32}} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}\). Находим \(q\): \(q = \frac{1}{3}\).

3. Формула суммы первых семи членов: \(S_7 = b_1 \cdot \frac{q^7 — 1}{q — 1}\). Подставляем: \(b_1 = 3\), \(q = 2\). Получаем: \(S_7 = 3 \cdot \frac{2^7 — 1}{2 — 1}\). Считаем: \(2^7 = 128\), \(128 — 1 = 127\), \(3 \cdot 127 = 381\). Ответ: \(S_7 = 381\).

4. Формула суммы пяти первых членов: \(S_5 = b_1 \cdot \frac{q^5 — 1}{q — 1}\). Подставляем: \(b_1 = \sqrt{6}\), \(q = \sqrt{2}\). Получаем: \(S_5 = \sqrt{6} \cdot \frac{(\sqrt{2})^5 — 1}{\sqrt{2} — 1}\). Считаем: \((\sqrt{2})^5 = 4\sqrt{2}\), \(4\sqrt{2} — 1\). Тогда \(S_5 = \sqrt{6} \cdot \frac{4\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} — 1}\). Преобразуем дробь: \(4\sqrt{2} — 1 = (4\sqrt{2} — 1)(\sqrt{2} + 1)/(\sqrt{2} + 1)\). Получаем: \(S_5 = \sqrt{6} \cdot \frac{(4\sqrt{2} — 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} — 1)(\sqrt{2} + 1)}\). Знаменатель: \((\sqrt{2} — 1)(\sqrt{2} + 1) = 2 — 1 = 1\). Числитель: \(4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 4\sqrt{2} \cdot 1 — 1 \cdot \sqrt{2} — 1 \cdot 1 = 8 + 4\sqrt{2} — \sqrt{2} — 1 = 8 + 3\sqrt{2} — 1 = 7 + 3\sqrt{2}\). Итог: \(S_5 = \sqrt{6} \cdot (7 + 3\sqrt{2})\). Раскрываем скобки: \(7\sqrt{6} + 3\sqrt{12} = 7\sqrt{6} + 6\sqrt{3}\). Ответ: \(S_5 = 13\sqrt{6} + 12\sqrt{2}\).