ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 104 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Среди данных неравенств укажите неравенство, решением которого является любое действительное число, и неравенство, не имеющее решений:

1) \(\frac{x^2 + 1}{x} \geq 0\);

2) \(\frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} \geq 1\);

3) \(\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} < 1\);

4) \(\frac{x^2 — 1}{x^2 + 1} \geq 0\).

1) \(\frac{x^2 + 1}{x} \geq 0\)

Числитель \(x^2 + 1 > 0\) всегда. Значит знак зависит от знаменателя \(x\). Чтобы дробь была больше или равна нулю, \(x > 0\). Решение: \(x \in (0, +\infty)\).

2) \(\frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} \geq 1\)

Дробь равна 1 при всех \(x \neq \pm 1\). Значит неравенство всегда верно для всех \(x \neq \pm 1\). Решение: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{\pm 1\}\).

3) \(\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} < 1\)

Дробь равна 1 для всех \(x\). Неравенство \(1 < 1\) неверно. Решений нет.

4) \(\frac{x^2 — 1}{x^2 + 1} \geq 0\)

Знаменатель всегда положителен. Значит знак дроби зависит от числителя \(x^2 — 1 \geq 0\). Решение: \(x \leq -1\) или \(x \geq 1\).

Ответ: 4) и 2).

Рассмотрим первое неравенство \( \frac{x^{2} + 1}{x} \geq 0 \). Числитель \( x^{2} + 1 \) всегда положителен, так как \( x^{2} \geq 0 \) и к нему прибавлена единица. Значит знак дроби зависит только от знака знаменателя \( x \). Чтобы дробь была больше или равна нулю, необходимо, чтобы \( x > 0 \). При \( x = 0 \) выражение не определено. Следовательно, решение первого неравенства: \( x \in (0; +\infty) \).

Рассмотрим второе неравенство \( \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 1} \geq 1 \). Область определения этого выражения — все \( x \), кроме тех, для которых знаменатель равен нулю, то есть \( x \neq \pm 1 \). Для всех допустимых \( x \) дробь равна 1, так как числитель и знаменатель совпадают. Значит неравенство \( 1 \geq 1 \) верно для всех \( x \neq \pm 1 \). Решение второго неравенства: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \).

Рассмотрим третье неравенство \( \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} < 1 \). Здесь числитель и знаменатель равны и всегда положительны, значит выражение равно 1 для всех \( x \). Неравенство \( 1 < 1 \) не выполняется ни при каком \( x \). Следовательно, третье неравенство не имеет решений: пустое множество.

Рассмотрим четвёртое неравенство \( \frac{x^{2} — 1}{x^{2} + 1} \geq 0 \). Знаменатель \( x^{2} + 1 \) всегда положителен, значит знак дроби зависит только от числителя \( x^{2} — 1 \). Решим неравенство \( x^{2} — 1 \geq 0 \). Это квадратное неравенство, корни которого \( x = \pm 1 \). При \( x \leq -1 \) и \( x \geq 1 \) выражение неотрицательно. Следовательно, решение четвёртого неравенства: \( x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \).

Ответ: 4) и 2).