ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1040 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что бесконечная последовательность \(b_1, b_2, b_3, …\) является геометрической прогрессией со знаменателем \(q+1\). Является ли геометрической прогрессией последовательность:

1) \(b_2, b_3, b_4, …;\)

2) \(b_2+1, b_3+1, b_4+1, …;\)

3) \(b_2, b_2, b_3, …;\)

4) \(-b_1, b_2, -b_3, …;\)

5) \(b_1+b_2, b_2+b_3, b_3+b_4, …;\)

6) \(b_1^2, b_2^2, b_3^2, …\)

В случае утвердительного ответа укажите, чему равен знаменатель этой прогрессии.

1) Последовательность \(a_n = b_{2n}\), тогда \(a_{n+1} = b_{2n+2}\).
\(q_a = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{b_{2n+2}}{b_{2n}} = q^2\).
Ответ: \(q^2\).

2) Последовательность \(a_n = b_n + 1\), с \(b_1=1, b_2=2, b_3=4\).
Проверка для \(q_a = \frac{a_2}{a_1} = \frac{3}{2}\) и \(q_a = \frac{a_3}{a_2} = \frac{5}{3}\) не совпадает.
Ответ: нет.

3) Последовательность \(a_n = b_n^2\), тогда \(a_{n+1} = b_{n+1}^2\).
\(q_a = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{b_{n+1}^2}{b_n^2} = ( \frac{b_{n+1}}{b_n} )^2 = q^2\).
Ответ: \(q^2\).

4) Последовательность \(a_n = -b_{2n-1}\), тогда \(a_{n+1} = -b_{2n+1}\).
\(q_a = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{-b_{2n+1}}{-b_{2n-1}} = \frac{b_{2n+1}}{b_{2n-1}} = q^2\).
Ответ: \(q^2\).

5) Последовательность \(a_n = b_n + b_{n+1}\), тогда \(a_{n+1} = b_{n+1} + b_{n+2}\).
\(q_a = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{b_{n+1} + b_{n+2}}{b_n + b_{n+1}} = \frac{b_{n+1}(1+q)}{b_n(1+q)} = \frac{b_{n+1}}{b_n} = q\).
Ответ: \(q\).

6) Последовательность \(a_n = \frac{1}{b_n}\), тогда \(a_{n+1} = \frac{1}{b_{n+1}}\).
\(q_a = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{1}{b_{n+1}}}{\frac{1}{b_n}} = \frac{b_n}{b_{n+1}} = \frac{1}{q}\).
Ответ: \(\frac{1}{q}\).

1) Рассмотрим последовательность \(a_n = b_{2n}\), где \(b_n\) — геометрическая прогрессия с знаменателем \(q \neq 1\). Поскольку \(b_n\) — геометрическая прогрессия, для любого \(n\) справедливо соотношение \(b_{n+1} = b_n \cdot q\). Тогда для последовательности \(a_n\) имеем \(a_n = b_{2n}\), а следующий член \(a_{n+1} = b_{2n+2}\). Чтобы найти знаменатель прогрессии \(a_n\), вычислим отношение соседних членов: \(q_a = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{b_{2n+2}}{b_{2n}}\).

Так как \(b_n\) — геометрическая прогрессия с знаменателем \(q\), то \(b_{2n+2} = b_{2n} \cdot q^2\), потому что шаг увеличивается на 2, и каждый шаг умножается на \(q\). Следовательно, \(q_a = \frac{b_{2n} \cdot q^2}{b_{2n}} = q^2\). Таким образом, последовательность \(a_n\) тоже является геометрической прогрессией, но с квадратом исходного знаменателя.

Это значит, что если исходная последовательность растёт или убывает с коэффициентом \(q\), то последовательность, состоящая из элементов с чётными индексами, будет изменяться с коэффициентом \(q^2\). Это логично, так как мы пропускаем каждый второй элемент, удваивая шаг прогрессии.

2) Рассмотрим последовательность \(a_n = b_n + 1\), где \(b_n\) — геометрическая прогрессия с \(b_1 = 1, b_2 = 2, b_3 = 4\). Здесь мы добавляем 1 к каждому элементу исходной прогрессии. Для проверки, является ли \(a_n\) геометрической прогрессией, вычислим два первых отношения: \(q_a^{(1)} = \frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2 + 1}{b_1 + 1} = \frac{2 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2}\) и \(q_a^{(2)} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{b_3 + 1}{b_2 + 1} = \frac{4 + 1}{2 + 1} = \frac{5}{3}\).

Так как \(q_a^{(1)} \neq q_a^{(2)}\), знаменатель прогрессии \(a_n\) не постоянен, а значит, \(a_n\) не является геометрической прогрессией. Добавление константы к членам геометрической прогрессии обычно нарушает свойство постоянного отношения соседних членов, поэтому \(a_n\) не сохраняет геометрическую структуру.

Это демонстрирует, что простое смещение каждого члена на фиксированное число меняет характер прогрессии, и нельзя ожидать, что новая последовательность будет геометрической, если только это не тривиальный случай.

3) Пусть \(a_n = b_n^2\), где \(b_n\) — геометрическая прогрессия с знаменателем \(q\). Тогда следующий член \(a_{n+1} = b_{n+1}^2\). Чтобы найти знаменатель прогрессии \(a_n\), вычислим отношение соседних членов: \(q_a = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{b_{n+1}^2}{b_n^2}\).

Поскольку \(b_{n+1} = b_n \cdot q\), то \(q_a = \frac{(b_n \cdot q)^2}{b_n^2} = \frac{b_n^2 \cdot q^2}{b_n^2} = q^2\). Таким образом, последовательность \(a_n\) является геометрической прогрессией с квадратом исходного знаменателя.

Это объясняется тем, что возведение каждого члена геометрической прогрессии в квадрат эквивалентно возведению знаменателя в квадрат, что отражается в новом знаменателе \(q^2\). Следовательно, \(a_n\) сохраняет геометрическую структуру, но с изменённым коэффициентом роста или убывания.

4) Для последовательности \(a_n = -b_{2n-1}\), где \(b_n\) — геометрическая прогрессия с знаменателем \(q\), следующий член \(a_{n+1} = -b_{2n+1}\). Знаменатель прогрессии \(a_n\) равен \(q_a = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{-b_{2n+1}}{-b_{2n-1}} = \frac{b_{2n+1}}{b_{2n-1}}\).

Используя свойство геометрической прогрессии, \(b_{2n+1} = b_{2n-1} \cdot q^2\), так как индекс увеличился на 2. Следовательно, \(q_a = \frac{b_{2n-1} \cdot q^2}{b_{2n-1}} = q^2\). Минус в числителе и знаменателе сокращается, не влияя на знак и величину отношения.

Это показывает, что последовательность, образованная из отрицательных элементов с нечётными индексами исходной прогрессии, сама является геометрической с квадратом исходного знаменателя.

5) Рассмотрим последовательность \(a_n = b_n + b_{n+1}\), где \(b_n\) — геометрическая прогрессия с знаменателем \(q\). Следующий член: \(a_{n+1} = b_{n+1} + b_{n+2}\). Найдём отношение соседних членов:

\(q_a = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{b_{n+1} + b_{n+2}}{b_n + b_{n+1}} = \frac{b_{n+1} + b_{n+1} \cdot q}{b_n + b_n \cdot q} = \frac{b_{n+1}(1 + q)}{b_n(1 + q)}\).

Так как \(1 + q \neq 0\), сокращаем: \(q_a = \frac{b_{n+1}}{b_n} = q\). Значит, последовательность \(a_n\) является геометрической прогрессией с тем же знаменателем, что и \(b_n\).

Это объясняется тем, что сумма двух соседних членов геометрической прогрессии пропорциональна первому из них с коэффициентом, зависящим от \(q\), и при делении соседних сумм этот коэффициент сокращается, оставляя исходный знаменатель.

6) Пусть \(a_n = \frac{1}{b_n}\), где \(b_n\) — геометрическая прогрессия с знаменателем \(q\). Тогда \(a_{n+1} = \frac{1}{b_{n+1}}\). Знаменатель прогрессии \(a_n\) равен

\(q_a = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{1}{b_{n+1}}}{\frac{1}{b_n}} = \frac{b_n}{b_{n+1}} = \frac{1}{q}\).

Таким образом, последовательность обратных членов исходной геометрической прогрессии тоже является геометрической прогрессией, но с обратным знаменателем.

Это логично, так как деление на \(b_n\) меняет направление и масштаб изменения, и если \(b_n\) растёт с коэффициентом \(q\), то обратные члены убывают с коэффициентом \(\frac{1}{q}\).