Учебник «Алгебра, 9 класс» под авторством Мерзляка, Полонского и Якира — это незаменимое пособие для учащихся средней школы, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Он отличается высоким качеством содержания и тщательно продуманной методической структурой, что делает процесс изучения математики более доступным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1041 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, если:
1) сумма прогрессии равна 4, а знаменатель равен \(\frac{1}{2}\);
2) сумма прогрессии равна \(\sqrt{2}+1\), а знаменатель равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\);
3) сумма прогрессии равна \(\frac{16}{3}\), а сумма пяти первых членов равна 5,5.
\(b_1 = 4(1 — \frac{1}{2}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\)
\(b_1 = (\sqrt{2} + 1)(1 — \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\sqrt{2} + 1) \cdot \frac{2 — \sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{2} + 1)(2 — \sqrt{2})}{2} = \frac{2\sqrt{2} — \sqrt{2} + 2 — \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(b_1 = \frac{16}{3}(1 — (-\frac{1}{2})) = \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{2} = 8\)
1. Сумма бесконечной геометрической прогрессии выражается формулой: \( S = \frac{b_1}{1-q} \). Подставляем значения: \( S = 4 \), \( q = \frac{1}{2} \). Получаем: \( 4 = \frac{b_1}{1 — \frac{1}{2}} \). Выражаем знаменатель: \( 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \). Тогда \( 4 = \frac{b_1}{\frac{1}{2}} \), отсюда \( b_1 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \).
2. Формула суммы: \( S = \frac{b_1}{1-q} \). Подставляем значения: \( S = \sqrt{2} + 1 \), \( q = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Получаем: \( \sqrt{2} + 1 = \frac{b_1}{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}} \). Выражаем знаменатель: \( 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 — \sqrt{2}}{2} \). Тогда: \( \sqrt{2} + 1 = \frac{b_1}{\frac{2 — \sqrt{2}}{2}} \), отсюда \( b_1 = (\sqrt{2} + 1) \cdot \frac{2 — \sqrt{2}}{2} \). Раскрываем скобки: \( (\sqrt{2} + 1)(2 — \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} — (\sqrt{2})^2 + 2 — \sqrt{2} = 2\sqrt{2} — 2 + 2 — \sqrt{2} = \sqrt{2} \). Получаем: \( b_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
3. Сумма бесконечной прогрессии: \( S = \frac{b_1}{1-q} \), сумма первых пяти членов: \( S_5 = b_1 \cdot \frac{1-q^5}{1-q} \). Подставляем значения: \( S = \frac{16}{3} \), \( S_5 = 5{,}5 \). Выразим \( b_1 \) через \( S \): \( b_1 = S \cdot (1-q) \). Найдём \( q \) из суммы пяти членов: \( S_5 = S \cdot (1-q^5) \), то есть \( 5{,}5 = \frac{16}{3}(1-q^5) \). Отсюда \( 1-q^5 = \frac{5{,}5 \cdot 3}{16} = \frac{16{,}5}{16} = \frac{33}{32} \), значит \( q^5 = 1 — \frac{33}{32} = -\frac{1}{32} \), отсюда \( q = -\frac{1}{2} \). Теперь подставляем в формулу для первого члена: \( b_1 = \frac{16}{3}(1-(-\frac{1}{2})) = \frac{16}{3} \cdot (1 + \frac{1}{2}) = \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{2} = 8 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.