ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1043 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Первый член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем \(q\) таким, что \(|q|<1\), равен \(\frac{6}{3}\), а её сумма равна \(9(\sqrt{3}+1)\). Найдите знаменатель прогрессии.

\(S = \frac{b_1}{1 — q}\)

\(9(\sqrt{3} + 1) = \frac{6\sqrt{3}}{1 — q}\)

\(1 — q = \frac{6\sqrt{3}}{9(\sqrt{3} + 1)}\)

\(q = 1 — \frac{6\sqrt{3}}{9(\sqrt{3} + 1)}\)

\(q = 1 — \frac{2\sqrt{3}}{3(\sqrt{3} + 1)}\)

\(q = \frac{3(\sqrt{3} + 1) — 2\sqrt{3}}{3(\sqrt{3} + 1)}\)

\(q = \frac{3\sqrt{3} + 3 — 2\sqrt{3}}{3(\sqrt{3} + 1)}\)

\(q = \frac{\sqrt{3} + 3}{3(\sqrt{3} + 1)}\)

\(q = \frac{3 + \sqrt{3}}{3(\sqrt{3} + 1)}\)

\(q = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Рассмотрим формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии, которая записывается как \(S = \frac{b_1}{1 — q}\), где \(S\) — сумма всех членов прогрессии, \(b_1\) — первый член, а \(q\) — знаменатель прогрессии, то есть отношение любого члена к предыдущему. Эта формула справедлива при условии, что \(|q| < 1\), что обеспечивает сходимость бесконечной суммы. Важно понимать, что знаменатель выражения \(1 — q\) не может быть равен нулю, так как тогда сумма была бы неопределённой.

Далее подставим известные значения в формулу: сумма \(S = 9(\sqrt{3} + 1)\) и первый член прогрессии \(b_1 = 6\sqrt{3}\). Тогда уравнение приобретает вид \(9(\sqrt{3} + 1) = \frac{6\sqrt{3}}{1 — q}\). Чтобы найти \(q\), нужно выразить из этого уравнения знаменатель \(1 — q\). Для этого умножим обе части уравнения на \(1 — q\), получим \(9(\sqrt{3} + 1)(1 — q) = 6\sqrt{3}\). Теперь разделим обе части уравнения на \(9(\sqrt{3} + 1)\), чтобы изолировать \(1 — q\): \(1 — q = \frac{6\sqrt{3}}{9(\sqrt{3} + 1)}\).

Следующий шаг — найти значение \(q\). Из уравнения \(1 — q = \frac{6\sqrt{3}}{9(\sqrt{3} + 1)}\) выразим \(q\): \(q = 1 — \frac{6\sqrt{3}}{9(\sqrt{3} + 1)}\). При этом важно упростить дробь в правой части, чтобы сделать дальнейшие вычисления проще и яснее. Обратим внимание, что числитель и знаменатель имеют множители, которые можно сократить. В частности, числитель 6 можно представить как \(2 \times 3\), а знаменатель 9 — как \(3 \times 3\). Таким образом, дробь преобразуется в \(\frac{2\sqrt{3}}{3(\sqrt{3} + 1)}\).

Теперь подставим упрощённую дробь обратно в выражение для \(q\), получая \(q = 1 — \frac{2\sqrt{3}}{3(\sqrt{3} + 1)}\). Чтобы сложить или вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае \(1\) можно записать как \(\frac{3(\sqrt{3} + 1)}{3(\sqrt{3} + 1)}\), чтобы знаменатели совпали. Тогда вычитание примет вид \(q = \frac{3(\sqrt{3} + 1)}{3(\sqrt{3} + 1)} — \frac{2\sqrt{3}}{3(\sqrt{3} + 1)}\).

Далее раскрываем скобки в числителе первой дроби: \(3(\sqrt{3} + 1) = 3\sqrt{3} + 3\). Теперь числитель становится \(3\sqrt{3} + 3 — 2\sqrt{3}\). Выполним вычитание в числителе: \(3\sqrt{3} — 2\sqrt{3} = \sqrt{3}\), поэтому числитель упрощается до \(\sqrt{3} + 3\). В итоге получаем дробь \(q = \frac{\sqrt{3} + 3}{3(\sqrt{3} + 1)}\).

Чтобы упростить выражение ещё больше, рассмотрим числитель и знаменатель. Можно попытаться разделить числитель на знаменатель по частям. Заметим, что \(3(\sqrt{3} + 1) = 3\sqrt{3} + 3\), а числитель — \(\sqrt{3} + 3\). Разделим каждое слагаемое числителя на соответствующее слагаемое знаменателя: \(\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3} + 3} + \frac{3}{3\sqrt{3} + 3}\). Но проще заметить, что общий множитель в знаменателе — 3, и вынести его за скобки, тогда \(q = \frac{\sqrt{3} + 3}{3(\sqrt{3} + 1)}\). Если разделить числитель и знаменатель на \(\sqrt{3} + 1\), получим \(q = \frac{\sqrt{3} + 3}{3(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\sqrt{3}}{3}\), так как \(\frac{\sqrt{3} + 3}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3}\).

Таким образом, после всех преобразований знаменатель прогрессии равен \(q = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Это значение меньше единицы по абсолютной величине, что подтверждает сходимость бесконечной геометрической прогрессии, и позволяет корректно использовать формулу суммы.