ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 105 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(\frac{2}{x^2} + 2 > 0\);

2) \((x+2)^2 > 0\);

3) \((x+2)^2 \leq 0\);

4) \(\frac{x+2}{x+2} > 0\);

5) \(\frac{x+2}{x+2} > \frac{2}{3}\);

6) \(\left(\frac{x+2}{x}\right)^2 > 0\);

7) \(\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2 \geq 0\);

8) \(x + \frac{1}{x^2} < \frac{2}{x^2} + 2\);

9) \(|x| \geq -x^2\);

10) \(|x| > -x^2\);

11) \(|x| > x\);

12) \(|x| \geq -x\).

1) \( \frac{2}{x^2} + 2 > 0 \);
\( x^2 > 0, x \neq 0 \);
Ответ: \((-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).

2) \( (x+2)^2 > 0 \);
\( x+2 \neq 0, x \neq -2 \);
Ответ: \((-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\).

3) \( (x+2)^2 \leq 0 \);
\( x+2 = 0, x = -2 \);
Ответ: \(\{-2\}\).

4) \( \frac{x+2}{x+2} > 0 \);
\( x+2 \neq 0, x \neq -2 \);
Ответ: \((-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\).

5) \( \frac{x+2}{x+2} > \frac{2}{3} \);
\( 1 > \frac{2}{3}, x+2 \neq 0, x \neq -2 \);
Ответ: \((-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\).

6) \( \left( \frac{x+2}{x-2} \right)^2 > 0 \);
\( x+2 \neq 0, x \neq -2; x-2 \neq 0, x \neq 2 \);
Ответ: \((-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)\).

7) \( \left( \frac{x+2}{x-2} \right)^2 \geq 0 \);
\( x-2 \neq 0, x \neq 2 \);
Ответ: \((-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\).

8) \( x + \frac{1}{x^2} < \frac{1}{x^2} + 2 \);
\( x < 2, x \neq 0 \);
Ответ: \((-\infty; 0) \cup (0; 2)\).

9) \( |x| \geq -x^2 \);
\( |x| + x^2 \geq 0, x \in \mathbb{R} \);
Ответ: \((-\infty; +\infty)\).

10) \( |x| > -x^2 \);
\( |x| + x^2 > 0, x \neq 0 \);
Ответ: \((-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).

11) \( |x| > x \);
\( x < 0 \);
Ответ: \((-\infty; 0)\).

12) \( |x| \geq -x \);
\( x \in \mathbb{R} \);
Ответ: \((-\infty; +\infty)\).

Рассмотрим неравенство \( |x| > -x^2 \).

Сначала вспомним, что \( x^2 \) — это квадрат числа \( x \), и он всегда неотрицателен, то есть \( x^2 \geq 0 \) для любого \( x \).

Значит, выражение \( -x^2 \) всегда меньше или равно нулю, то есть \( -x^2 \leq 0 \).

Теперь рассмотрим значение \( |x| \). Модуль числа \( x \) всегда неотрицателен, то есть \( |x| \geq 0 \).

Таким образом, левая часть \( |x| \) всегда неотрицательна, а правая часть \( -x^2 \) всегда неположительна.

Если \( x \neq 0 \), то \( |x| > 0 \) и \( -x^2 < 0 \), значит \( |x| > -x^2 \) верно.

Если \( x = 0 \), то \( |0| = 0 \) и \( -0^2 = 0 \), тогда \( |x| > -x^2 \) превращается в \( 0 > 0 \), что неверно.

Следовательно, неравенство выполняется при всех \( x \), кроме \( x = 0 \).

Ответ: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).