ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 11 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

1) \(2a^2 — 8a + 16 > 0\);

2) \(4b^2 + 4b + 3 > 0\);

3) \(a^2 + ab + b^2 \geq 0\);

4) \((3a + 2)(2a — 4) — (2a — 5)^2 > 3(4a — 12)\);

5) \(a(a — 3) > 5(a — 4)\);

6) \((a — b)(a + 5b) \leq (2a + b)(a + 4b) + ab\).

1) \(2a^2 — 8a + 16 > 0\)
\(a^2 — 4a + 8 > 0\)
\(a^2 — 4a + 4 + 4 > 0\)
\((a — 2)^2 + 4 > 0\)
Неравенство доказано.

2) \(4b^2 + 4b + 3 > 0\)
\(4b^2 + 4b + 1 + 2 > 0\)
\((2b + 1)^2 + 2 > 0\)
Неравенство доказано.

3) \(a^2 + ab + b^2 \geq 0\)
\(D = b^2 — 4b^2 = -3b^2\)
Неравенство доказано.

4) \((3a + 2)(2a — 4) — (2a — 5)^2 > 3(4a — 12)\)
\(6a^2 — 12a + 4a — 8 — 4a^2 + 20a — 25 > 12a — 36\)
\(2a^2 + 3 > 0\)
Неравенство доказано.

5) \(a(a — 3) > 5(a — 4)\)
\(a^2 — 3a > 5a — 20\)
\(a^2 — 8a + 20 > 0\)
\(a^2 — 8a + 16 + 4 > 0\)
\((a — 4)^2 + 4 > 0\)
Неравенство доказано.

6) \((a — b)(a + 5b) \leq (2a + b)(a + 4b) + ab\)
\(a^2 + 5ab — ab — 5b^2 \leq 2a^2 + 8ab + ab + 4b^2 + ab\)
\(a^2 + 4ab — 5b^2 \leq 2a^2 + 10ab + 4b^2\)
\(-a^2 — 6ab — 9b^2 \leq 0\)
\(a^2 + 6ab + 9b^2 \geq 0\)
\((a + 3b)^2 \geq 0\)
Неравенство доказано.

1) Рассмотрим выражение \(2a^2 — 8a + 16\). Разделим его на 2, получим \(a^2 — 4a + 8\). Чтобы понять знак выражения, представим его в виде полного квадрата: \(a^2 — 4a + 4 + 4\), что равно \((a — 2)^2 + 4\). Квадрат любого числа неотрицателен, а 4 — положительное число, значит сумма всегда больше нуля. Следовательно, неравенство \(2a^2 — 8a + 16 > 0\) верно для всех \(a\).

2) Рассмотрим выражение \(4b^2 + 4b + 3\). Представим его как \(4b^2 + 4b + 1 + 2\), что равно \((2b + 1)^2 + 2\). Квадрат любого числа неотрицателен, а 2 — положительное число, значит сумма всегда больше нуля. Следовательно, неравенство \(4b^2 + 4b + 3 > 0\) верно для всех \(b\).

3) Рассмотрим выражение \(a^2 + ab + b^2\). Посчитаем дискриминант квадратного уравнения относительно \(a\): \(D = b^2 — 4 \cdot 1 \cdot b^2 = -3b^2\). Поскольку \(D \leq 0\), выражение не имеет действительных корней и всегда неотрицательно. Следовательно, \(a^2 + ab + b^2 \geq 0\) для всех \(a\) и \(b\).

4) Раскроем скобки в выражении \((3a + 2)(2a — 4) — (2a — 5)^2 > 3(4a — 12)\). Получаем \(6a^2 — 12a + 4a — 8 — (4a^2 — 20a + 25) > 12a — 36\). Упростим левую часть: \(6a^2 — 8a — 8 — 4a^2 + 20a — 25 > 12a — 36\), что равно \(2a^2 + 12a — 33 > 12a — 36\). Переносим \(12a\) вправо: \(2a^2 — 33 > -36\). Добавляем 33 к обеим частям: \(2a^2 > -3\). Квадрат любого числа не может быть отрицательным, значит неравенство верно.

5) Раскроем скобки в неравенстве \(a(a — 3) > 5(a — 4)\): \(a^2 — 3a > 5a — 20\). Переносим все в левую часть: \(a^2 — 8a + 20 > 0\). Представим как полный квадрат: \(a^2 — 8a + 16 + 4 > 0\), что равно \((a — 4)^2 + 4 > 0\). Квадрат любого числа неотрицателен, плюс 4 — положительно, значит неравенство верно.

6) Раскроем скобки в неравенстве \((a — b)(a + 5b) \leq (2a + b)(a + 4b) + ab\). Левая часть: \(a^2 + 5ab — ab — 5b^2 = a^2 + 4ab — 5b^2\). Правая часть: \(2a^2 + 8ab + ab + 4b^2 + ab = 2a^2 + 10ab + 4b^2\). Запишем неравенство: \(a^2 + 4ab — 5b^2 \leq 2a^2 + 10ab + 4b^2\). Переносим всё в левую часть: \(-a^2 — 6ab — 9b^2 \leq 0\). Умножаем на \(-1\), меняя знак: \(a^2 + 6ab + 9b^2 \geq 0\). Это квадрат \((a + 3b)^2\), который всегда неотрицателен. Следовательно, неравенство верно.