ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 117 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(6x > 18\);

2) \(-2x \geq 10\);

3) \(x < 9\);

4) \(0,1x \geq 0\);

5) \(x > 24\);

6) \(-10x < 0\);

7) \(\frac{1}{2}x \leq -\frac{1}{4}\);

8) \(-7x > \frac{14}{15}\);

9) \(7x — 2 > 19\);

10) \(5x + 16 \leq 6\);

11) \(4 — x < 5\);

12) \(5 — 8x \geq 6\);

13) \(12 + 4x \geq 6x\);

14) \(36 — 2x < 4x\);

15) \(x^2 — 2 \leq 2\).

1) \(6x > 18\); разделим на 6: \(x > \frac{18}{6} = 3\); ответ: \((3; +\infty)\).

2) \(-2x \geq 10\); разделим на \(-2\), меняем знак: \(x \leq \frac{10}{-2} = -5\); ответ: \((-\infty; -5]\).

3) \(x < 9\); ответ: \((-\infty; 9)\).

4) \(0,1x \geq 0\); разделим на \(0,1\): \(x \geq 0\); ответ: \([0; +\infty)\).

5) \(x > 24\); ответ: \((24; +\infty)\).

6) \(-10x < 0\); разделим на \(-10\), меняем знак: \(x > 0\); ответ: \((0; +\infty)\).

7) \(\frac{1}{2}x \leq -\frac{1}{4}\); умножим на 2: \(x \leq -\frac{1}{2}\); ответ: \((-\infty; -0,5]\).

8) \(-7x > \frac{14}{15}\); разделим на \(-7\), меняем знак: \(x < \frac{14}{15} \times -\frac{1}{7} = -\frac{2}{15}\); ответ: \((-\infty; -\frac{2}{15})\).

9) \(7x — 2 > 19\); прибавим 2: \(7x > 21\); разделим на 7: \(x > 3\); ответ: \((3; +\infty)\).

10) \(5x + 16 \leq 6\); вычтем 16: \(5x \leq -10\); разделим на 5: \(x \leq -2\); ответ: \((-\infty; -2]\).

11) \(4 — x < 5\); вычтем 4: \(-x < 1\); умножим на \(-1\), меняем знак: \(x > -1\); ответ: \((-1; +\infty)\).

12) \(5 — 8x \geq 6\); вычтем 5: \(-8x \geq 1\); разделим на \(-8\), меняем знак: \(x \leq -\frac{1}{8}\); ответ: \((-\infty; -\frac{1}{8}]\).

13) \(12 + 4x \geq 6x\); вычтем \(4x\): \(12 \geq 2x\); разделим на 2: \(6 \geq x\); ответ: \((-\infty; 6]\).

14) \(36 — 2x < 4x\); перенесём: \(36 < 6x\); разделим на 6: \(6 < x\); ответ: \((6; +\infty)\).

15) \(x^{2} — 2 \leq 2\); прибавим 2: \(x^{2} \leq 4\); значит \(-2 \leq x \leq 2\); ответ: \([-2; 2]\).

1) Рассмотрим неравенство \(6x > 18\). Чтобы найти множество решений, необходимо избавиться от коэффициента при \(x\). Для этого разделим обе части неравенства на число 6. При делении на положительное число знак неравенства сохраняется, поэтому получаем \(x > \frac{18}{6}\). Выполнив деление, получаем \(x > 3\). Это означает, что все значения \(x\), которые больше 3, удовлетворяют исходному неравенству. Таким образом, решением является интервал от 3 до бесконечности, не включая 3, то есть \((3; +\infty)\).

2) Рассмотрим неравенство \(-2x \geq 10\). Для решения нужно разделить обе части на \(-2\). Однако при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Поэтому после деления получаем \(x \leq \frac{10}{-2}\). Выполнив деление, получаем \(x \leq -5\). Это означает, что все значения \(x\), которые меньше или равны \(-5\), удовлетворяют неравенству. Множество решений — интервал от минус бесконечности до \(-5\) включительно, то есть \((-\infty; -5]\).

3) Рассмотрим неравенство \(x < 9\). Здесь коэффициент перед \(x\) равен 1, значит, чтобы найти решение, достаточно понять, какие значения \(x\) меньше 9. Это все числа, расположенные на числовой оси слева от 9, не включая 9. Следовательно, решением является интервал \((-\infty; 9)\). Этот интервал включает все числа, меньшие 9, но не включает саму 9, так как знак неравенства строгий.

4) Рассмотрим неравенство \(0{,}1x \geq 0\). Чтобы решить его, нужно избавиться от коэффициента \(0{,}1\), который стоит перед \(x\). Для этого разделим обе части неравенства на \(0{,}1\). Поскольку \(0{,}1\) — положительное число, знак неравенства сохраняется. Получаем \(x \geq \frac{0}{0{,}1} = 0\). Это означает, что все значения \(x\), начиная с нуля и выше, удовлетворяют неравенству. Таким образом, множество решений — интервал от 0 до бесконечности, включая 0, то есть \([0; +\infty)\).

5) Рассмотрим неравенство \(x > 24\). Здесь коэффициент при \(x\) равен 1, поэтому решение сводится к определению множества чисел, которые больше 24. Это все числа, расположенные на числовой оси правее 24, не включая само число 24, так как знак неравенства строгий. Следовательно, ответ — интервал \((24; +\infty)\).

6) Рассмотрим неравенство \(-10x < 0\). Чтобы решить его, разделим обе части на \(-10\). При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Получаем \(x > \frac{0}{-10} = 0\). Это означает, что все значения \(x\), строго больше 0, удовлетворяют неравенству. Множество решений — интервал \((0; +\infty)\), включающий все числа, большие нуля, но не включая саму ноль.

7) Рассмотрим неравенство \(\frac{1}{2}x \leq -\frac{1}{4}\). Чтобы избавиться от дробного коэффициента перед \(x\), умножим обе части неравенства на 2. Поскольку 2 — положительное число, знак неравенства сохраняется. Получаем \(x \leq 2 \times \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{2}\). Это означает, что все значения \(x\), меньшие или равные \(-\frac{1}{2}\), удовлетворяют неравенству. Следовательно, множество решений — интервал \((-\infty; -0{,}5]\).

8) Рассмотрим неравенство \(-7x > \frac{14}{15}\). Для решения разделим обе части на \(-7\). При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Получаем \(x < \frac{14}{15} \times \left(-\frac{1}{7}\right) = -\frac{2}{15}\). Значит, все значения \(x\), меньшие \(-\frac{2}{15}\), удовлетворяют неравенству. Множество решений — интервал \((-\infty; -\frac{2}{15})\).

9) Рассмотрим неравенство \(7x — 2 > 19\). Сначала прибавим 2 к обеим частям, чтобы избавиться от свободного члена: \(7x > 21\). Затем разделим обе части на 7. Поскольку 7 — положительное число, знак неравенства сохраняется: \(x > \frac{21}{7} = 3\). Это означает, что все значения \(x\), строго больше 3, удовлетворяют неравенству. Множество решений — интервал \((3; +\infty)\).

10) Рассмотрим неравенство \(5x + 16 \leq 6\). Чтобы избавиться от свободного члена, вычтем 16 из обеих частей: \(5x \leq 6 — 16 = -10\). Далее разделим обе части на 5. Поскольку 5 — положительное число, знак неравенства сохраняется: \(x \leq \frac{-10}{5} = -2\). Это означает, что все значения \(x\), меньшие или равные \(-2\), удовлетворяют неравенству. Множество решений — интервал \((-\infty; -2]\).

11) Рассмотрим неравенство \(4 — x < 5\). Сначала вычтем 4 из обеих частей: \(-x < 1\). Чтобы избавиться от минуса перед \(x\), умножим обе части на \(-1\), при этом знак неравенства меняется на противоположный: \(x > -1\). Это означает, что все значения \(x\), строго больше \(-1\), удовлетворяют неравенству. Множество решений — интервал \((-1; +\infty)\).

12) Рассмотрим неравенство \(5 — 8x \geq 6\). Вычтем 5 из обеих частей: \(-8x \geq 1\). Далее разделим обе части на \(-8\). При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: \(x \leq \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}\). Это означает, что все значения \(x\), меньшие или равные \(-\frac{1}{8}\), удовлетворяют неравенству. Множество решений — интервал \((-\infty; -\frac{1}{8}]\).

13) Рассмотрим неравенство \(12 + 4x \geq 6x\). Для упрощения перенесём все члены с \(x\) в одну сторону: вычтем \(4x\) из обеих частей, получим \(12 \geq 2x\). Далее разделим обе части на 2. Поскольку 2 — положительное число, знак неравенства сохраняется: \(6 \geq x\). Это означает, что все значения \(x\), меньшие или равные 6, удовлетворяют неравенству. Множество решений — интервал \((-\infty; 6]\).

14) Рассмотрим неравенство \(36 — 2x < 4x\). Перенесём все члены с \(x\) в одну сторону: \(36 < 6x\). Далее разделим обе части на 6. Поскольку 6 — положительное число, знак неравенства сохраняется: \(6 < x\). Это означает, что все значения \(x\), строго больше 6, удовлетворяют неравенству. Множество решений — интервал \((6; +\infty)\).

15) Рассмотрим неравенство \(x^{2} — 2 \leq 2\). Сначала прибавим 2 к обеим частям, чтобы избавиться от свободного члена: \(x^{2} \leq 4\). Это означает, что квадрат числа \(x\) не превышает 4. Из этого следует, что \(x\) лежит между корнями уравнения \(x^{2} = 4\), то есть между \(-2\) и \(2\). Следовательно, \(-2 \leq x \leq 2\). Множество решений — интервал \([-2; 2]\), включающий оба конца.