ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

1) \(28a — 32 \leq 7a^2 — 4\);

2) \(9x^2 — 6xy + 4y^2 \geq 0\);

3) \(3(b — 1) < b(b + 1)\);

4) \((4p — 1)(p + 1) — (p — 3)(p + 3) > 3(p^2 + p)\).

1) \(28a — 32 \leq 7a^{2} — 4\);
\(7a^{2} — 28a + 28 \geq 0\);
\(a^{2} — 4a + 4 \geq 0\);
\((a — 2)^{2} \geq 0\);
Неравенство доказано.

2) \(9x^{2} — 6xy + 4y^{2} \geq 0\);
\((3x — 2y)^{2} \geq 0\);
Неравенство доказано.

3) \(3(b — 1) < b(b + 1)\);
\(3b — 3 < b^{2} + b\);
\(b^{2} — 2b + 3 > 0\);
\(b^{2} — 2b + 1 + 2 > 0\);
\((b — 1)^{2} + 2 > 0\);
Неравенство доказано.

4) \((4p — 1)(p + 1) — (p — 3)(p + 3) > 3(p^{2} + p)\);
\(4p^{2} + 4p — p — 1 — p^{2} + 9 > 3p^{2} + 3p\);
\(3p^{2} + 3p + 8 > 3p^{2} + 3p\),
\(8 > 0\);
Неравенство доказано.

1) Начнём с первого неравенства. Перенос всех слагаемых в одну сторону даёт выражение \(7a^{2} — 4 — 28a + 32 \geq 0\). Здесь важно аккуратно сгруппировать похожие члены: \(7a^{2} — 28a + (32 — 4) \geq 0\), что упрощается до \(7a^{2} — 28a + 28 \geq 0\). Чтобы сделать неравенство более удобным для анализа, разделим обе части на 7 — положительное число, поэтому знак неравенства не изменится. Получаем \(a^{2} — 4a + 4 \geq 0\). Теперь обратим внимание на выражение \(a^{2} — 4a + 4\). Это классический пример полного квадрата, так как \(a^{2} — 4a + 4 = (a — 2)^{2}\).

Понимание того, что квадрат любого действительного числа неотрицателен, является ключевым моментом. Значит, \((a — 2)^{2} \geq 0\) для всех значений \(a\). Это означает, что исходное неравенство выполнено при любом \(a\). При этом равенство достигается при \(a = 2\), когда квадрат равен нулю. Таким образом, мы доказали, что неравенство истинно на всей числовой оси, и единственная точка, где оно обращается в равенство — это \(a = 2\).

Это решение демонстрирует важность распознавания полного квадрата в алгебраических выражениях, что значительно упрощает анализ и позволяет быстро делать выводы о знаке выражения.

2) Рассмотрим выражение \(9x^{2} — 6xy + 4y^{2}\). Цель — определить, неотрицательно ли оно для всех значений переменных \(x\) и \(y\). Попытаемся представить его в виде квадрата линейного выражения. Возьмём \((3x — 2y)^{2}\), что раскрывается в \(9x^{2} — 12xy + 4y^{2}\). Видно, что исходное выражение отличается от этого квадрата по коэффициенту при \(xy\): вместо \(-12xy\) у нас \(-6xy\).

Для проверки неотрицательности можно использовать дискриминант квадратного трёхчлена по переменной \(x\), рассматривая \(y\) как параметр. Запишем дискриминант как \(\Delta = (-6y)^{2} — 4 \cdot 9 \cdot 4y^{2} = 36y^{2} — 144y^{2} = -108y^{2}\). Поскольку \(y^{2} \geq 0\), то \(\Delta \leq 0\), а именно \(\Delta < 0\), если \(y \neq 0\). Отрицательный дискриминант означает, что квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, и, следовательно, выражение \(9x^{2} — 6xy + 4y^{2}\) не меняет знак и остаётся либо положительным, либо нулём.

Проверка на равенство нулю показывает, что выражение равно нулю только при \(x = y = 0\). Таким образом, выражение неотрицательно для всех \(x, y\), что можно записать как \(9x^{2} — 6xy + 4y^{2} \geq 0\).

3) Рассмотрим неравенство \(3(b — 1) < b(b + 1)\). Раскроем скобки: \(3b — 3 < b^{2} + b\). Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить неравенство с нулём справа: \(0 < b^{2} + b — 3b + 3\). Упростим выражение: \(0 < b^{2} — 2b + 3\).

Для анализа преобразуем квадратный трёхчлен к форме полного квадрата. Запишем \(b^{2} — 2b + 3\) как \(b^{2} — 2b + 1 + 2\), что равно \((b — 1)^{2} + 2\). Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, \((b — 1)^{2} \geq 0\), и прибавление положительного числа 2 делает выражение строго положительным для всех \(b\).

Следовательно, неравенство \(0 < (b — 1)^{2} + 2\) выполняется для всех значений \(b\), что означает, что исходное неравенство \(3(b — 1) < b(b + 1)\) истинно при любом \(b\).

4) Рассмотрим неравенство \((4p — 1)(p + 1) — (p — 3)(p + 3) > 3(p^{2} + p)\). Раскроем скобки в левой части: \(4p \cdot p + 4p \cdot 1 — 1 \cdot p — 1 \cdot 1 = 4p^{2} + 4p — p — 1\). Аналогично раскроем второе произведение: \((p — 3)(p + 3) = p^{2} — 9\). Подставим в исходное неравенство:

\[
4p^{2} + 4p — p — 1 — (p^{2} — 9) > 3p^{2} + 3p
\]

Упростим левую часть: \(4p^{2} + 3p — 1 — p^{2} + 9 = 3p^{2} + 3p + 8\). Теперь неравенство принимает вид:

\[
3p^{2} + 3p + 8 > 3p^{2} + 3p
\]

Вычитая \(3p^{2} + 3p\) из обеих частей, получаем:

\[
8 > 0
\]

Это истинное неравенство, которое не зависит от \(p\). Значит, исходное неравенство выполняется для любого значения переменной \(p\).

Таким образом, все рассмотренные неравенства либо тождественно верны, либо неотрицательны для всех значений переменных, что подтверждается анализом через полные квадраты и дискриминанты.