ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 12 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

1) \(28a — 32 \leq 7a^2 — 4\);

2) \(9x^2 — 6xy + 4y^2 \geq 0\);

3) \(3(b — 1) < b(b + 1)\);

4) \((4p — 1)(p + 1) — (p — 3)(p + 3) > 3(p^2 + p)\).

1) \(28a — 32 \leq 7a^{2} — 4\);
\(7a^{2} — 28a + 28 \geq 0\);
\(a^{2} — 4a + 4 \geq 0\);
\((a — 2)^{2} \geq 0\);
Неравенство доказано.

2) \(9x^{2} — 6xy + 4y^{2} \geq 0\);
\((3x — 2y)^{2} \geq 0\);
Неравенство доказано.

3) \(3(b — 1) < b(b + 1)\);
\(3b — 3 < b^{2} + b\);
\(b^{2} — 2b + 3 > 0\);
\(b^{2} — 2b + 1 + 2 > 0\);
\((b — 1)^{2} + 2 > 0\);
Неравенство доказано.

4) \((4p — 1)(p + 1) — (p — 3)(p + 3) > 3(p^{2} + p)\);
\(4p^{2} + 4p — p — 1 — p^{2} + 9 > 3p^{2} + 3p\);
\(3p^{2} + 3p + 8 > 3p^{2} + 3p\),
\(8 > 0\);
Неравенство доказано.

1) Перенесём все слагаемые в одну сторону: \(7a^{2} — 4 — 28a + 32 \geq 0\).
Упростим: \(7a^{2} — 28a + 28 \geq 0\).
Разделим на 7: \(a^{2} — 4a + 4 \geq 0\).
Распознаём полный квадрат: \((a — 2)^{2} \geq 0\).
Квадрат любого числа неотрицателен, значит неравенство верно.

2) Рассмотрим выражение \(9x^{2} — 6xy + 4y^{2}\).
Попробуем представить его в виде квадрата: \((3x — 2y)^{2} = 9x^{2} — 12xy + 4y^{2}\).
Наше выражение отличается по коэффициенту при \(xy\), но проверим дискриминант:
\(\Delta = (-6y)^{2} — 4 \cdot 9 \cdot 4y^{2} = 36y^{2} — 144y^{2} = -108y^{2} \leq 0\).
Отрицательный дискриминант означает, что выражение неотрицательно.
Значит \(9x^{2} — 6xy + 4y^{2} \geq 0\).

3) Раскроем скобки: \(3(b — 1) < b(b + 1)\) значит \(3b — 3 < b^{2} + b\).
Перенесём всё в одну сторону: \(0 < b^{2} + b — 3b + 3\).
Упростим: \(0 < b^{2} — 2b + 3\).
Запишем как полный квадрат: \(b^{2} — 2b + 1 + 2 > 0\).
То есть \((b — 1)^{2} + 2 > 0\), что всегда верно.

4) Раскроем скобки: \((4p — 1)(p + 1) — (p — 3)(p + 3) > 3(p^{2} + p)\).
Получаем: \(4p^{2} + 4p — p — 1 — (p^{2} — 9) > 3p^{2} + 3p\).
Упростим: \(4p^{2} + 3p — 1 — p^{2} + 9 > 3p^{2} + 3p\).
Далее: \(3p^{2} + 3p + 8 > 3p^{2} + 3p\).
Вычитаем \(3p^{2} + 3p\) с обеих сторон: \(8 > 0\), что всегда верно.