ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 13 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что:

1) \(a^3 — 6a^2 + a — 6 \geq 0\), если \(a \geq 6\);

2) \(ab + 1 > a + b\), если \(a > 1\) и \(b > 1\);

3) \(\frac{a + 3}{3} + \frac{3a — 2}{4} < a\), если \(a < -6\).

1) \(a^3 — 6a^2 + a — 6 \geq 0\);

\(a^3 — 6a^2 + a — 6 = a^2(a — 6) + (a — 6) = (a^2 + 1)(a — 6)\);

Так как \(a^2 + 1 > 0\) для любого \(a\), и \(a — 6 \geq 0\) при \(a \geq 6\), то произведение неотрицательно;

Неравенство доказано.

2) \(ab + 1 > a + b\);

Переносим все в одну сторону: \(ab — a — b + 1 > 0\);

Группируем: \(a(b — 1) — (b — 1) > 0\);

Вынесем общий множитель: \((a — 1)(b — 1) > 0\);

При \(a > 1\) и \(b > 1\) оба множителя положительны, значит произведение положительно;

Неравенство доказано.

3) \(\frac{a + 3}{3} + \frac{3a — 2}{4} < a\);

Приводим к общему знаменателю: \(\frac{4(a + 3)}{12} + \frac{3(3a — 2)}{12} < a\);

Складываем числители: \(\frac{4a + 12 + 9a — 6}{12} < a\);

Получаем: \(\frac{13a + 6}{12} < a\);

Умножаем обе части на 12: \(13a + 6 < 12a\);

Вычитаем \(12a\): \(a + 6 < 0\);

Получаем: \(a < -6\);

Неравенство доказано.

Рассмотрим неравенство \(a^3 — 6a^2 + a — 6 \geq 0\) при условии \(a \geq 6\).

Для начала разложим многочлен на множители, чтобы понять его структуру. Выделим общий множитель в первых двух и последних двух слагаемых: \(a^3 — 6a^2 + a — 6 = a^2(a — 6) + 1(a — 6)\). Здесь мы видим, что выражение можно представить в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых содержит множитель \(a — 6\). Это позволяет вынести общий множитель за скобки: \((a^2 + 1)(a — 6)\).

Далее анализируем знаки множителей. Выражение \(a^2 + 1\) всегда положительно, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, а к нему прибавлена единица. Следовательно, \(a^2 + 1 > 0\) для всех \(a\). Второй множитель \(a — 6\) при \(a \geq 6\) неотрицателен, то есть \(a — 6 \geq 0\). Произведение двух неотрицательных чисел неотрицательно, значит \( (a^2 + 1)(a — 6) \geq 0\). Таким образом, исходное неравенство выполняется для всех \(a \geq 6\).

Переходим ко второму неравенству \(ab + 1 > a + b\) при \(a > 1\) и \(b > 1\). Переносим все слагаемые в одну сторону: \(ab + 1 > a + b\) эквивалентно \(ab — a — b + 1 > 0\). Далее сгруппируем члены: \(ab — a — b + 1 = a(b — 1) — (b — 1)\). Здесь видно, что \(b — 1\) является общим множителем, который можно вынести за скобки: \((a — 1)(b — 1)\).

Так как по условию \(a > 1\) и \(b > 1\), оба множителя \(a — 1\) и \(b — 1\) положительны. Произведение двух положительных чисел тоже положительно, поэтому \((a — 1)(b — 1) > 0\). Следовательно, исходное неравенство доказано.

Рассмотрим третье неравенство \(\frac{a + 3}{3} + \frac{3a — 2}{4} < a\), при \(a < -6\). Чтобы упростить выражение, приведём левую часть к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 4 — 12, поэтому перепишем: \(\frac{4(a + 3)}{12} + \frac{3(3a — 2)}{12} < a\). Сложим числители: \(4a + 12 + 9a — 6 = 13a + 6\). Получаем неравенство \(\frac{13a + 6}{12} < a\).

Умножим обе части неравенства на 12, при этом знак неравенства сохранится, так как 12 положительно: \(13a + 6 < 12a\). Переносим все члены в левую сторону: \(13a + 6 — 12a < 0\), упрощаем: \(a + 6 < 0\). Из этого следует \(a < -6\), что совпадает с условием. Значит неравенство выполняется при \(a < -6\).