ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 132 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( \frac{4x}{3} + \frac{x}{2} < 11 \);

2) \( \frac{3}{4} — \frac{3x}{4} \geq \frac{1}{6} \);

3) \( \frac{5x}{7} — x > -4 \);

4) \( \frac{x}{8} \leq \frac{1}{4} \leq x \).

1) \( \frac{4x}{3} + \frac{x}{2} < 11 \)
Приводим к общему знаменателю: \( \frac{8x}{6} + \frac{3x}{6} < 11 \)
Складываем: \( \frac{11x}{6} < 11 \)
Умножаем на 6: \( 11x < 66 \)
Делим на 11: \( x < 6 \)
Ответ: \( (-\infty; 6) \).

2) \( \frac{2x}{3} — \frac{3x}{4} \geq \frac{1}{6} \)
Приводим к общему знаменателю: \( \frac{8x}{12} — \frac{9x}{12} \geq \frac{1}{6} \)
Вычитаем: \( \frac{-x}{12} \geq \frac{1}{6} \)
Умножаем на 12: \( -x \geq 2 \)
Умножаем на -1: \( x \leq -2 \)
Ответ: \( (-\infty; -2] \).

3) \( \frac{5x}{7} — x > -4 \)
Приводим к общему знаменателю: \( \frac{5x}{7} — \frac{7x}{7} > -4 \)
Вычитаем: \( \frac{-2x}{7} > -4 \)
Умножаем на 7: \( -2x > -28 \)
Делим на -2: \( x < 14 \)
Ответ: \( (-\infty; 14) \).

4) \( \frac{x}{8} — \frac{1}{4} \leq x \)
Переносим \( x \) влево: \( \frac{x}{8} — \frac{1}{4} — x \leq 0 \)
Приводим к общему знаменателю: \( \frac{x}{8} — \frac{2}{8} — \frac{8x}{8} \leq 0 \)
Складываем: \( \frac{-7x — 2}{8} \leq 0 \)
Умножаем на 8: \( -7x — 2 \leq 0 \)
Переносим: \( -7x \leq 2 \)
Делим на -7: \( x \geq -\frac{2}{7} \)
Ответ: \( \left[-\frac{2}{7}; +\infty \right) \).

1) Рассмотрим неравенство \( \frac{4x}{3} + \frac{x}{2} < 11 \). Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для чисел 3 и 2 — это 6, так как 6 — наименьшее число, которое делится и на 3, и на 2 без остатка. Перепишем каждую дробь, умножая числитель и знаменатель на такое число, чтобы знаменатель стал равен 6: первая дробь \( \frac{4x}{3} \) умножается на \( \frac{2}{2} \), получаем \( \frac{8x}{6} \); вторая дробь \( \frac{x}{2} \) умножается на \( \frac{3}{3} \), получаем \( \frac{3x}{6} \). Теперь, когда знаменатели одинаковы, можно сложить числители: \( \frac{8x}{6} + \frac{3x}{6} = \frac{8x + 3x}{6} = \frac{11x}{6} \). Неравенство принимает вид \( \frac{11x}{6} < 11 \).

Далее, чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части неравенства на 6, при этом знак неравенства не изменится, так как 6 — положительное число: \( 11x < 66 \). Теперь решаем относительно \( x \), делим обе части на 11 (тоже положительное число, знак неравенства сохраняется): \( x < 6 \). Таким образом, решение — все числа, меньшие 6. В интервале это записывается как \( (-\infty; 6) \).

Ответ: множество решений неравенства — \( (-\infty; 6) \). Это означает, что любое число \( x \), меньшее 6, удовлетворяет исходному неравенству. При \( x = 6 \) неравенство не выполняется, так как левая часть равна правой, а нам нужно строго меньше.

2) Рассмотрим неравенство \( \frac{2x}{3} — \frac{3x}{4} \geq \frac{1}{6} \). Для удобства решения приведём левую часть к общему знаменателю. Знаменатели 3 и 4, их наименьший общий знаменатель — 12. Перепишем дроби: \( \frac{2x}{3} = \frac{8x}{12} \) (умножаем числитель и знаменатель на 4), \( \frac{3x}{4} = \frac{9x}{12} \) (умножаем на 3). Теперь можно вычесть числители: \( \frac{8x}{12} — \frac{9x}{12} = \frac{8x — 9x}{12} = \frac{-x}{12} \). Неравенство принимает вид \( \frac{-x}{12} \geq \frac{1}{6} \).

Чтобы избавиться от знаменателя 12, умножаем обе части неравенства на 12. При умножении на положительное число знак неравенства сохраняется: \( -x \geq 2 \) (так как \( \frac{1}{6} \times 12 = 2 \)). Теперь умножаем обе части на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный, так как умножение на отрицательное число инвертирует знак: \( x \leq -2 \). Значит, решение — все числа \( x \), меньшие или равные -2.

Ответ: множество решений — \( (-\infty; -2] \). Это значит, что любые значения \( x \), которые не превосходят -2, удовлетворяют исходному неравенству.

3) Рассмотрим неравенство \( \frac{5x}{7} — x > -4 \). Для удобства приведём второе слагаемое к дробному виду с тем же знаменателем 7: \( x = \frac{7x}{7} \). Тогда неравенство перепишется как \( \frac{5x}{7} — \frac{7x}{7} > -4 \). Вычитаем числители: \( \frac{5x — 7x}{7} = \frac{-2x}{7} \). Теперь неравенство: \( \frac{-2x}{7} > -4 \).

Чтобы избавиться от знаменателя, умножаем обе части на 7 (положительное число, знак неравенства не меняется): \( -2x > -28 \). Далее делим обе части на -2, при этом знак неравенства меняется на противоположный: \( x < 14 \). Это означает, что решение — все числа меньше 14.

Ответ: множество решений — \( (-\infty; 14) \). Таким образом, любое число \( x \), строго меньше 14, удовлетворяет исходному неравенству. При \( x = 14 \) неравенство не выполняется, так как левая часть равна правой, а знак строго больше.

4) Рассмотрим неравенство \( \frac{x}{8} — \frac{1}{4} \leq x \). Перенесём все члены в левую часть для удобства: \( \frac{x}{8} — \frac{1}{4} — x \leq 0 \). Приведём все дроби к общему знаменателю 8. Число \( \frac{1}{4} = \frac{2}{8} \), а \( x = \frac{8x}{8} \). Тогда выражение перепишется как \( \frac{x}{8} — \frac{2}{8} — \frac{8x}{8} \leq 0 \).

Складываем числители: \( \frac{x — 2 — 8x}{8} = \frac{-7x — 2}{8} \leq 0 \). Чтобы избавиться от знаменателя 8 (положительное число), умножим обе части неравенства на 8, знак не меняется: \( -7x — 2 \leq 0 \). Переносим свободный член в правую часть: \( -7x \leq 2 \).

Делим обе части на -7, при этом меняем знак неравенства, так как делим на отрицательное число: \( x \geq -\frac{2}{7} \). Значит, решение — все числа \( x \), которые больше или равны \( -\frac{2}{7} \).

Ответ: множество решений — \( \left[-\frac{2}{7}; +\infty \right) \). Это значит, что все \( x \), начиная с \( -\frac{2}{7} \) и выше, удовлетворяют исходному неравенству. При \( x = -\frac{2}{7} \) неравенство выполняется с равенством.