ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 132 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( \frac{4x}{3} + \frac{x}{2} < 11 \);

2) \( \frac{3}{4} — \frac{3x}{4} \geq \frac{1}{6} \);

3) \( \frac{5x}{7} — x > -4 \);

4) \( \frac{x}{8} \leq \frac{1}{4} \leq x \).

1) \( \frac{4x}{3} + \frac{x}{2} < 11 \)
Приводим к общему знаменателю: \( \frac{8x}{6} + \frac{3x}{6} < 11 \)
Складываем: \( \frac{11x}{6} < 11 \)
Умножаем на 6: \( 11x < 66 \)
Делим на 11: \( x < 6 \)
Ответ: \( (-\infty; 6) \).

2) \( \frac{2x}{3} — \frac{3x}{4} \geq \frac{1}{6} \)
Приводим к общему знаменателю: \( \frac{8x}{12} — \frac{9x}{12} \geq \frac{1}{6} \)
Вычитаем: \( \frac{-x}{12} \geq \frac{1}{6} \)
Умножаем на 12: \( -x \geq 2 \)
Умножаем на -1: \( x \leq -2 \)
Ответ: \( (-\infty; -2] \).

3) \( \frac{5x}{7} — x > -4 \)
Приводим к общему знаменателю: \( \frac{5x}{7} — \frac{7x}{7} > -4 \)
Вычитаем: \( \frac{-2x}{7} > -4 \)
Умножаем на 7: \( -2x > -28 \)
Делим на -2: \( x < 14 \)
Ответ: \( (-\infty; 14) \).

4) \( \frac{x}{8} — \frac{1}{4} \leq x \)
Переносим \( x \) влево: \( \frac{x}{8} — \frac{1}{4} — x \leq 0 \)
Приводим к общему знаменателю: \( \frac{x}{8} — \frac{2}{8} — \frac{8x}{8} \leq 0 \)
Складываем: \( \frac{-7x — 2}{8} \leq 0 \)
Умножаем на 8: \( -7x — 2 \leq 0 \)
Переносим: \( -7x \leq 2 \)
Делим на -7: \( x \geq -\frac{2}{7} \)
Ответ: \( \left[-\frac{2}{7}; +\infty \right) \).

1) Рассмотрим неравенство \( \frac{4x}{3} + \frac{x}{2} < 11 \). Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 2 — это 6. Перепишем дроби: \( \frac{8x}{6} + \frac{3x}{6} < 11 \). Теперь складываем числители: \( \frac{11x}{6} < 11 \). Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части на 6: \( 11x < 66 \). Делим обе части на 11, получаем: \( x < 6 \). Ответ: \( (-\infty; 6) \).

2) Неравенство \( \frac{2x}{3} — \frac{3x}{4} \geq \frac{1}{6} \) приводим к общему знаменателю для левой части. Общий знаменатель 12. Переписываем: \( \frac{8x}{12} — \frac{9x}{12} \geq \frac{1}{6} \). Вычитаем числители: \( \frac{-x}{12} \geq \frac{1}{6} \). Умножаем обе части на 12: \( -x \geq 2 \). Умножаем на -1 и меняем знак неравенства: \( x \leq -2 \). Ответ: \( (-\infty; -2] \).

3) Рассмотрим \( \frac{5x}{7} — x > -4 \). Приводим к общему знаменателю 7: \( \frac{5x}{7} — \frac{7x}{7} > -4 \). Вычитаем числители: \( \frac{-2x}{7} > -4 \). Умножаем обе части на 7: \( -2x > -28 \). Делим на -2 и меняем знак неравенства: \( x < 14 \). Ответ: \( (-\infty; 14) \).

4) Неравенство \( \frac{x}{8} — \frac{1}{4} \leq x \) переносим все в левую часть: \( \frac{x}{8} — \frac{1}{4} — x \leq 0 \). Приводим к общему знаменателю 8: \( \frac{x}{8} — \frac{2}{8} — \frac{8x}{8} \leq 0 \). Складываем числители: \( \frac{-7x — 2}{8} \leq 0 \). Умножаем на 8: \( -7x — 2 \leq 0 \). Переносим: \( -7x \leq 2 \). Делим на -7 и меняем знак неравенства: \( x \geq -\frac{2}{7} \). Ответ: \( \left[-\frac{2}{7}; +\infty \right) \).