ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 135 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1) \( 3(4x + 9) + 5 > 7(8 — x) \);

2) \( (2 — y)(3 + y) \leq (4 + y)(6 — y) \);

3) \( (y + 3)(y — 5) — (y — 1)^2 > -16 \);

4) \( \frac{3x — 7}{5} — 1 \geq \frac{2x — 6}{3} \);

5) \( \frac{2x}{3} — \frac{x — 1}{6} — \frac{x + 2}{2} < 0 \);

6) \( \frac{y — 1}{2} — \frac{2y + 1}{8} < y < 2 \).

1) \(3(4x + 9) + 5 > 7(8 — x)\)
\(12x + 27 + 5 > 56 — 7x\)
\(12x + 32 > 56 — 7x\)
\(12x + 7x > 56 — 32\)
\(19x > 24\)
\(x > \frac{24}{19}\)
Ответ: \(\left(\frac{24}{19}; +\infty\right)\).

2) \((2 — y)(3 + y) \leq (4 + y)(6 — y)\)
\(6 + 2y — 3y — y^2 \leq 24 — 4y + 6y — y^2\)
\(6 — y \leq 24 + 2y\)
\(-18 \leq 3y\)
\(y \geq -6\)
Ответ: \([-6; +\infty)\).

3) \((y + 3)(y — 5) — (y — 1)^2 > -16\)
\(y^2 — 2y — 15 — (y^2 — 2y + 1) > -16\)
\(-16 > -16\) — неверно
Ответ: решений нет.

4) \(\frac{3x — 7}{5} — 1 \geq \frac{2x — 6}{3}\)
\(3(3x — 7) — 15 \geq 5(2x — 6)\)
\(9x — 21 — 15 \geq 10x — 30\)
\(9x — 36 \geq 10x — 30\)
\(-x \geq 6\)
\(x \leq -6\)
Ответ: \((-\infty; -6]\).

5) \(\frac{2x}{3} — \frac{x — 1}{6} — \frac{x + 2}{2} < 0\)
\(\frac{4x}{6} — \frac{x — 1}{6} — \frac{3(x + 2)}{6} < 0\)
\(4x — (x — 1) — 3(x + 2) < 0\)
\(4x — x + 1 — 3x — 6 < 0\)
\(0 < 5\) — всегда верно
Ответ: \((-\infty; +\infty)\).

6) \(\frac{y — 1}{2} — \frac{2y + 1}{8} < y < 2\)
\(4(y — 1) — (2y + 1) < 8y\)
\(4y — 4 — 2y — 1 < 8y\)
\(2y — 5 < 8y\)
\(-6y < 5\)
\(y > -\frac{5}{6}\)
\(y < 2\)
Ответ: \(\left(-\frac{5}{6}; 2\right)\).

1) Раскроем скобки в неравенстве \(3(4x + 9) + 5 > 7(8 — x)\). Получаем \(12x + 27 + 5 > 56 — 7x\). Сложим числа слева: \(12x + 32 > 56 — 7x\). Перенесём все с \(x\) влево, а числа вправо: \(12x + 7x > 56 — 32\). Сложим: \(19x > 24\). Разделим обе части на 19: \(x > \frac{24}{19}\). Ответ: \(\left(\frac{24}{19}; +\infty\right)\).

2) Раскроем скобки в неравенстве \((2 — y)(3 + y) \leq (4 + y)(6 — y)\). Слева: \(6 + 2y — 3y — y^{2} = 6 — y — y^{2}\). Справа: \(24 — 4y + 6y — y^{2} = 24 + 2y — y^{2}\). Подставим: \(6 — y — y^{2} \leq 24 + 2y — y^{2}\). Сократим \(- y^{2}\) с обеих сторон: \(6 — y \leq 24 + 2y\). Перенесём числа влево, переменные вправо: \(6 — 24 \leq 2y + y\). Получим: \(-18 \leq 3y\). Разделим на 3: \(y \geq -6\). Ответ: \([-6; +\infty)\).

3) Раскроем скобки в неравенстве \((y + 3)(y — 5) — (y — 1)^{2} > -16\). Слева: \(y^{2} — 5y + 3y — 15 = y^{2} — 2y — 15\). Второе выражение: \(y^{2} — 2y + 1\). Подставим: \(y^{2} — 2y — 15 — (y^{2} — 2y + 1) > -16\). Раскроем скобки: \(y^{2} — 2y — 15 — y^{2} + 2y — 1 > -16\). Сложим: \(-16 > -16\), что неверно. Значит решений нет.

4) Преобразуем неравенство \(\frac{3x — 7}{5} — 1 \geq \frac{2x — 6}{3}\). Домножим обе части на 15: \(3(3x — 7) — 15 \geq 5(2x — 6)\). Раскроем скобки: \(9x — 21 — 15 \geq 10x — 30\). Сложим числа слева: \(9x — 36 \geq 10x — 30\). Перенесём всё с \(x\) влево, числа вправо: \(9x — 10x \geq -30 + 36\). Получим: \(-x \geq 6\). Умножим на \(-1\) и поменяем знак: \(x \leq -6\). Ответ: \((-\infty; -6]\).

5) Приведём к общему знаменателю 6 неравенство \(\frac{2x}{3} — \frac{x — 1}{6} — \frac{x + 2}{2} < 0\). Перепишем: \(\frac{4x}{6} — \frac{x — 1}{6} — \frac{3(x + 2)}{6} < 0\). Сложим числители: \(4x — (x — 1) — 3(x + 2) < 0\). Раскроем скобки: \(4x — x + 1 — 3x — 6 < 0\). Сложим: \(0x — 5 < 0\), то есть \(-5 < 0\), что всегда верно. Ответ: \((-\infty; +\infty)\).

6) Рассмотрим двойное неравенство \(\frac{y — 1}{2} — \frac{2y + 1}{8} < y < 2\). Сначала решим левую часть: \(4(y — 1) — (2y + 1) < 8y\). Раскроем скобки: \(4y — 4 — 2y — 1 < 8y\). Сложим: \(2y — 5 < 8y\). Перенесём всё с \(y\) влево: \(2y — 8y < 5\). Получим: \(-6y < 5\). Разделим на \(-6\), поменяв знак: \(y > -\frac{5}{6}\). Правая часть: \(y < 2\). Ответ: \(\left(-\frac{5}{6}; 2\right)\).