ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 14 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что:

1) \( ab(b — a) \leq a^3 — b^3 \), если \( a \geq b \);

2) \( \frac{a — 1}{2} — \frac{a — 2}{3} > \frac{1}{2} \), если \( a > 2 \).

1) \( ab(b — a) \leq a^3 — b^3 \)

\( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \)

Тогда

\( ab(b — a) \leq (a — b)(a^2 + ab + b^2) \)

Переносим в левую часть:

\( ab(b — a) — (a — b)(a^2 + ab + b^2) \leq 0 \)

Преобразуем левую часть:

\( ab(b — a) = -ab(a — b) \)

Тогда

\( -ab(a — b) — (a — b)(a^2 + ab + b^2) \leq 0 \)

Вынесем \( (a — b) \):

\( (a — b)(-ab — a^2 — ab — b^2) \leq 0 \)

\( (a — b)(-a^2 — 2ab — b^2) \leq 0 \)

\( (a — b)(-(a + b)^2) \leq 0 \)

Так как \( (a + b)^2 \geq 0 \), то

\( -(a — b)(a + b)^2 \leq 0 \)

Если \( a \geq b \), то \( a — b \geq 0 \), значит неравенство верно.

2) \( \frac{a — 1}{2} — \frac{a — 2}{3} > \frac{1}{2} \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{3(a — 1)}{6} — \frac{2(a — 2)}{6} > \frac{1}{2} \)

\( \frac{3a — 3 — 2a + 4}{6} > \frac{1}{2} \)

\( \frac{a + 1}{6} > \frac{1}{2} \)

Умножим обе части на 6:

\( a + 1 > 3 \)

\( a > 2 \)

Неравенство доказано.

Рассмотрим первое неравенство \( ab(b — a) \leq a^3 — b^3 \) при условии \( a \geq b \). Для начала раскроем правую часть, используя формулу разности кубов: \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \). Это классическое разложение, которое позволяет представить разность кубов в виде произведения разности и суммы квадратов и произведений переменных. Подставляя это выражение обратно в неравенство, получаем \( ab(b — a) \leq (a — b)(a^2 + ab + b^2) \).

Далее перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить однородное выражение: \( ab(b — a) — (a — b)(a^2 + ab + b^2) \leq 0 \). Обратим внимание, что \( ab(b — a) = -ab(a — b) \), так как \( b — a = -(a — b) \). Значит, выражение можно переписать как \( -ab(a — b) — (a — b)(a^2 + ab + b^2) \leq 0 \). Теперь в левой части можно вынести общий множитель \( (a — b) \), получив \( (a — b)(-ab — a^2 — ab — b^2) \leq 0 \).

Внутри скобок сложим подобные слагаемые: \( -ab — a^2 — ab — b^2 = -a^2 — 2ab — b^2 \). Это выражение можно переписать как \( -(a^2 + 2ab + b^2) \), что равно \( -(a + b)^2 \) по формуле квадрата суммы. Таким образом, неравенство принимает вид \( (a — b)(-(a + b)^2) \leq 0 \). Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то \( (a + b)^2 \geq 0 \) для всех \( a, b \). Следовательно, знак всего произведения определяется знаком множителя \( (a — b) \). При условии \( a \geq b \), разность \( a — b \geq 0 \), а отрицательный множитель \( -(a + b)^2 \leq 0 \). Произведение положительного и отрицательного чисел всегда не больше нуля, то есть неравенство выполняется. Таким образом, доказано, что исходное неравенство истинно при условии \( a \geq b \).

Теперь рассмотрим второе неравенство \( \frac{a — 1}{2} — \frac{a — 2}{3} > \frac{1}{2} \) при условии \( a > 2 \). Чтобы упростить его, приведём левую часть к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 равен 6, поэтому перепишем дроби: \( \frac{3(a — 1)}{6} — \frac{2(a — 2)}{6} > \frac{1}{2} \). Теперь объединим числители: \( \frac{3a — 3 — 2a + 4}{6} > \frac{1}{2} \). Упростим числитель, сложив подобные члены: \( \frac{a + 1}{6} > \frac{1}{2} \).

Далее умножим обе части неравенства на 6, чтобы избавиться от знаменателя, получив \( a + 1 > 3 \). Вычтем 1 из обеих частей, что даёт \( a > 2 \). Это условие совпадает с изначальным предположением, что \( a > 2 \), следовательно, неравенство выполняется при данном условии. Таким образом, мы убедились, что при \( a > 2 \) второе неравенство верно, что завершает доказательство.