ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 14 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что:

1) \( ab(b — a) \leq a^3 — b^3 \), если \( a \geq b \);

2) \( \frac{a — 1}{2} — \frac{a — 2}{3} > \frac{1}{2} \), если \( a > 2 \).

1) \( ab(b — a) \leq a^3 — b^3 \)

\( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \)

Тогда

\( ab(b — a) \leq (a — b)(a^2 + ab + b^2) \)

Переносим в левую часть:

\( ab(b — a) — (a — b)(a^2 + ab + b^2) \leq 0 \)

Преобразуем левую часть:

\( ab(b — a) = -ab(a — b) \)

Тогда

\( -ab(a — b) — (a — b)(a^2 + ab + b^2) \leq 0 \)

Вынесем \( (a — b) \):

\( (a — b)(-ab — a^2 — ab — b^2) \leq 0 \)

\( (a — b)(-a^2 — 2ab — b^2) \leq 0 \)

\( (a — b)(-(a + b)^2) \leq 0 \)

Так как \( (a + b)^2 \geq 0 \), то

\( -(a — b)(a + b)^2 \leq 0 \)

Если \( a \geq b \), то \( a — b \geq 0 \), значит неравенство верно.

2) \( \frac{a — 1}{2} — \frac{a — 2}{3} > \frac{1}{2} \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{3(a — 1)}{6} — \frac{2(a — 2)}{6} > \frac{1}{2} \)

\( \frac{3a — 3 — 2a + 4}{6} > \frac{1}{2} \)

\( \frac{a + 1}{6} > \frac{1}{2} \)

Умножим обе части на 6:

\( a + 1 > 3 \)

\( a > 2 \)

Неравенство доказано.

Рассмотрим первое неравенство \( ab(b — a) \leq a^3 — b^3 \) при условии \( a \geq b \).

Раскроем разность кубов в правой части: \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \).

Подставим это в неравенство: \( ab(b — a) \leq (a — b)(a^2 + ab + b^2) \).

Перенесём всё в левую часть: \( ab(b — a) — (a — b)(a^2 + ab + b^2) \leq 0 \).

Обратим внимание, что \( ab(b — a) = -ab(a — b) \), тогда выражение становится \( -ab(a — b) — (a — b)(a^2 + ab + b^2) \leq 0 \).

Вынесем общий множитель \( (a — b) \): \( (a — b)(-ab — a^2 — ab — b^2) \leq 0 \).

Сложим внутри скобок: \( -a^2 — 2ab — b^2 = -(a^2 + 2ab + b^2) \).

Это равно \( -(a + b)^2 \), значит неравенство принимает вид \( (a — b)(-(a + b)^2) \leq 0 \).

Так как \( (a + b)^2 \geq 0 \) для любых \( a, b \), знак неравенства зависит от \( (a — b) \).

Если \( a \geq b \), то \( a — b \geq 0 \), и произведение \( (a — b)(-(a + b)^2) \leq 0 \) выполняется.

Значит, первое неравенство доказано при \( a \geq b \).

—

Рассмотрим второе неравенство \( \frac{a — 1}{2} — \frac{a — 2}{3} > \frac{1}{2} \) при условии \( a > 2 \).

Приведём левую часть к общему знаменателю 6: \( \frac{3(a — 1)}{6} — \frac{2(a — 2)}{6} > \frac{1}{2} \).

Сложим числители: \( \frac{3a — 3 — 2a + 4}{6} > \frac{1}{2} \).

Упростим числитель: \( \frac{a + 1}{6} > \frac{1}{2} \).

Умножим обе части на 6: \( a + 1 > 3 \).

Вычтем 1: \( a > 2 \).

Это совпадает с условием, значит неравенство верно при \( a > 2 \).