ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 140 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \( x \) верно равенство:

1) \( |x — 5| = x — 5 \);

2) \( |2x + 14| = -2x — 14 \)?

1) \( |x — 5| = x — 5 \). Модуль равен выражению, если \( x — 5 \geq 0 \), то есть \( x \geq 5 \). Ответ: \( [5; +\infty) \).

2) \( |2x + 14| = -2x — 14 \). Модуль равен отрицательному выражению, значит \( 2x + 14 \leq 0 \), то есть \( x \leq -7 \). Ответ: \( (-\infty; -7] \).

1) Рассмотрим уравнение \( |x — 5| = x — 5 \). По определению модуля, если выражение внутри модуля неотрицательно, то модуль равен самому выражению. Значит, чтобы \( |x — 5| = x — 5 \), должно быть \( x — 5 \geq 0 \). Решаем неравенство: \( x \geq 5 \). Для таких \( x \) уравнение верно. Если \( x < 5 \), то \( |x — 5| = -(x — 5) = 5 — x \), что не равно \( x — 5 \). Значит, решение уравнения — все \( x \), для которых \( x \geq 5 \).

2) Рассмотрим уравнение \( |2x + 14| = -2x — 14 \). Сначала определим знак выражения под модулем. Если \( 2x + 14 \geq 0 \), то \( |2x + 14| = 2x + 14 \). Подставим в уравнение: \( 2x + 14 = -2x — 14 \). Переносим все в одну сторону: \( 2x + 14 + 2x + 14 = 0 \), то есть \( 4x + 28 = 0 \). Решаем: \( 4x = -28 \), \( x = -7 \). Проверяем условие \( 2x + 14 \geq 0 \) при \( x = -7 \): \( 2(-7) + 14 = 0 \), условие выполняется. Если \( 2x + 14 < 0 \), то \( |2x + 14| = -(2x + 14) = -2x — 14 \). Тогда уравнение становится тождеством \( -2x — 14 = -2x — 14 \), которое верно для всех \( x \), при которых \( 2x + 14 < 0 \). Решаем неравенство: \( 2x + 14 < 0 \), \( 2x < -14 \), \( x < -7 \). Значит, решение — все \( x \leq -7 \).

Ответ: для первого уравнения \( x \in [5; +\infty) \), для второго — \( x \in (-\infty; -7] \).