ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 151 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \( x \) определена функция:

1) \( f(x) = \sqrt{x + 4} + \frac{1}{x — 2} \);

2) \( f(x) = \sqrt{24 — 8x + x^2 — 16} \);

3) \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x + 9}} \left| x — 2 \right| \);

4) \( f(x) = \sqrt{x + 1} + \frac{4}{x^2 — 1} \).

1) \(x + 4 \geq 0\), значит \(x \geq -4\); \(x — 2 \neq 0\), значит \(x \neq 2\). Ответ: \([-4; 2) \cup (2; +\infty)\).

2) \(24 — 8x + x^2 — 16 \geq 0\), это \(x^2 — 8x + 8 \geq 0\). Корни уравнения \(x^2 — 8x + 8 = 0\) равны \(4 \pm 2\sqrt{2}\). Значит \(x \leq 4 — 2\sqrt{2}\) или \(x \geq 4 + 2\sqrt{2}\). Ответ: \((-\infty; 4 — 2\sqrt{2}] \cup [4 + 2\sqrt{2}; +\infty)\).

3) \(3x + 9 > 0\), значит \(x > -3\); \(|x| — 2 \neq 0\), значит \(x \neq \pm 2\). Ответ: \((-3; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)\).

4) \(x + 1 \geq 0\), значит \(x \geq -1\); \(x^2 — 1 \neq 0\), значит \(x \neq \pm 1\). Ответ: \((-1; 1) \cup (1; +\infty)\).

Для функции \(f(x) = \sqrt{x + 4} + \frac{1}{x — 2}\) сначала найдём область определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, значит \(x + 4 \geq 0\), откуда \(x \geq -4\). Также знаменатель не должен равняться нулю, значит \(x — 2 \neq 0\), то есть \(x \neq 2\). Следовательно, область определения равна объединению интервалов \([-4; 2) \cup (2; +\infty)\).

Для функции \(f(x) = \sqrt{24 — 8x + x^2 — 16}\) упростим подкоренное выражение: \(24 — 8x + x^2 — 16 = x^2 — 8x + 8\). Для определения области определения нужно, чтобы \(x^2 — 8x + 8 \geq 0\). Найдём корни уравнения \(x^2 — 8x + 8 = 0\). Дискриминант равен \(D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 64 — 32 = 32\). Корни равны \(x = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2}\). Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, значит выражение неотрицательно вне интервала между корнями. Таким образом, область определения равна \((-\infty; 4 — 2\sqrt{2}] \cup [4 + 2\sqrt{2}; +\infty)\).

Для функции \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x + 9}} |x — 2|\) подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля, так как корень в знаменателе нельзя равнять нулю. Значит \(3x + 9 > 0\), откуда \(x > -3\). Знаменатель не равен нулю, что уже учтено. Значит область определения равна \((-3; +\infty)\).

Для функции \(f(x) = \sqrt{x + 1} + \frac{4}{x^2 — 1}\) подкоренное выражение должно быть неотрицательным, значит \(x + 1 \geq 0\), откуда \(x \geq -1\). Знаменатель не должен равняться нулю, значит \(x^2 — 1 \neq 0\), то есть \(x \neq \pm 1\). Следовательно, область определения равна объединению интервалов \([-1; 1) \cup (1; +\infty)\).