ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 153 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( |x — 3| + x = 15 \);

2) \( |x + 1| — 4x = 14 \);

3) \( |3x — 12| — 2x = 1 \);

4) \( |x + 2| — x = 1 \).

1) \( |x — 3| + x = 15 \)
\( |x — 3| = 15 — x \)
Первое уравнение: \( x — 3 = 15 — x \)
\( 2x = 18, \quad x = 9 \)
Второе уравнение: \( x — 3 = — (15 — x) \)
\( x — 3 = x — 15 \)
\( 0x = -12 \), решений нет
Область определения: \( 15 — x \geq 0, \quad x \leq 15 \)
Ответ: \( 9 \)

2) \( |x + 1| — 4x = 14 \)
\( |x + 1| = 4x + 14 \)
Первое уравнение: \( x + 1 = 4x + 14 \)
\( 3x = -13, \quad x = -\frac{13}{3} \) (не подходит)
Второе уравнение: \( x + 1 = — (4x + 14) \)
\( x + 1 = -4x — 14 \)
\( 5x = -15, \quad x = -3 \)
Область определения: \( 4x + 14 \geq 0, \quad x \geq -\frac{14}{4} = -3.5 \)
Ответ: \( -3 \)

3) \( |3x — 12| — 2x = 1 \)
\( |3x — 12| = 2x + 1 \)
Первое уравнение: \( 3x — 12 = 2x + 1 \)
\( x = 13 \)
Второе уравнение: \( 3x — 12 = — (2x + 1) \)
\( 3x — 12 = -2x — 1 \)
\( 5x = 11, \quad x = \frac{11}{5} = 2.2 \)
Область определения: \( 2x + 1 \geq 0, \quad x \geq -0.5 \)
Ответ: \( 2.2, \quad 13 \)

4) \( |x + 2| — x = 1 \)
\( |x + 2| = x + 1 \)
Первое уравнение: \( x + 2 = x + 1 \)
\( 0x = -1 \), решений нет
Второе уравнение: \( x + 2 = — (x + 1) \)
\( 2x = -3, \quad x = -\frac{3}{2} = -1.5 \) (не подходит)
Область определения: \( x + 1 \geq 0, \quad x \geq -1 \)
Ответ: корней нет

1) Уравнение \( |x — 3| + x = 15 \) перепишем как \( |x — 3| = 15 — x \). Для того, чтобы правая часть была неотрицательной, должно выполняться \( 15 — x \geq 0 \), то есть \( x \leq 15 \).

Рассмотрим два случая. Первый: если \( x — 3 \geq 0 \), то есть \( x \geq 3 \), то модуль раскрывается как \( x — 3 \). Тогда уравнение принимает вид \( x — 3 = 15 — x \). Переносим слагаемые: \( 2x = 18 \), откуда \( x = 9 \). Проверяем условие \( x \geq 3 \) и \( x \leq 15 \), оно выполнено, значит \( x = 9 \) подходит.

Второй случай: если \( x — 3 < 0 \), то есть \( x < 3 \), тогда модуль раскрывается как \( -(x — 3) = 3 — x \). Подставляем в уравнение: \( 3 — x = 15 — x \). Упрощаем: \( 3 = 15 \), что невозможно. Значит решений в этом случае нет.

Ответ: \( 9 \).

2) Уравнение \( |x + 1| — 4x = 14 \) перепишем как \( |x + 1| = 4x + 14 \). Чтобы правая часть была неотрицательной, должно быть \( 4x + 14 \geq 0 \), то есть \( x \geq -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5 \).

Рассмотрим два случая. Первый: если \( x + 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq -1 \), то модуль раскрывается как \( x + 1 \). Тогда уравнение: \( x + 1 = 4x + 14 \). Переносим слагаемые: \( 3x = -13 \), откуда \( x = -\frac{13}{3} \approx -4.33 \). Но это не удовлетворяет условию \( x \geq -1 \), значит это решение не подходит.

Второй случай: если \( x + 1 < 0 \), то есть \( x < -1 \), модуль раскрывается как \( -(x + 1) = -x — 1 \). Подставляем: \( -x — 1 = 4x + 14 \). Переносим: \( 5x = -15 \), откуда \( x = -3 \). Проверяем условие \( x \geq -3.5 \) и \( x < -1 \), оно выполнено, значит \( x = -3 \) подходит.

Ответ: \( -3 \).

3) Уравнение \( |3x — 12| — 2x = 1 \) перепишем как \( |3x — 12| = 2x + 1 \). Правая часть должна быть неотрицательной, значит \( 2x + 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq -\frac{1}{2} \).

Рассмотрим два случая. Первый: если \( 3x — 12 \geq 0 \), то есть \( x \geq 4 \), модуль раскрывается как \( 3x — 12 \). Тогда уравнение: \( 3x — 12 = 2x + 1 \). Переносим: \( x = 13 \). Проверяем условие \( x \geq 4 \), подходит.

Второй случай: если \( 3x — 12 < 0 \), то есть \( x < 4 \), модуль раскрывается как \( -(3x — 12) = -3x + 12 \). Подставляем: \( -3x + 12 = 2x + 1 \). Переносим: \( 5x = 11 \), откуда \( x = \frac{11}{5} = 2.2 \). Проверяем условие \( x \geq -\frac{1}{2} \) и \( x < 4 \), подходит.

Ответ: \( 2.2, \quad 13 \).

4) Уравнение \( |x + 2| — x = 1 \) перепишем как \( |x + 2| = x + 1 \). Правая часть должна быть неотрицательной, значит \( x + 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq -1 \).

Рассмотрим два случая. Первый: если \( x + 2 \geq 0 \), то есть \( x \geq -2 \), модуль раскрывается как \( x + 2 \). Тогда уравнение: \( x + 2 = x + 1 \). Упрощаем: \( 2 = 1 \), что невозможно, решений нет.

Второй случай: если \( x + 2 < 0 \), то есть \( x < -2 \), модуль раскрывается как \( -(x + 2) = -x — 2 \). Подставляем: \( -x — 2 = x + 1 \). Переносим: \( -2x = 3 \), откуда \( x = -\frac{3}{2} = -1.5 \). Но это не удовлетворяет условию \( x \geq -1 \), значит решений нет.

Ответ: корней нет.