ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 154 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( |x + 5| + 2x = 7 \);

2) \( |3 — 2x| — x = 9 \).

1) \( |x + 5| + 2x = 7 \)
\( |x + 5| = 7 — 2x \)

Первое уравнение:
\( x + 5 = 7 — 2x \)
\( 3x = 2 \)
\( x = \frac{2}{3} \)

Второе уравнение:
\( x + 5 = 2x — 7 \)
\( x = 12 \)

Область определения:
\( 7 — 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3,5 \)

Ответ: \( \frac{2}{3} \)

2) \( |3 — 2x| — x = 9 \)
\( |3 — 2x| = x + 9 \)

Первое уравнение:
\( 3 — 2x = x + 9 \)
\( 3x = -6 \)
\( x = -2 \)

Второе уравнение:
\( 3 — 2x = -x — 9 \)
\( x = 12 \)

Область определения:
\( x + 9 \geq 0 \Rightarrow x \geq -9 \)

Ответ: \( -2; 12 \)

1) Рассмотрим уравнение \( |x + 5| + 2x = 7 \). Сначала выразим модуль:
\( |x + 5| = 7 — 2x \).

Так как выражение под модулем может быть и положительным, и отрицательным, рассмотрим два случая.

Первый случай: \( x + 5 \geq 0 \), тогда \( |x + 5| = x + 5 \). Подставляем в уравнение:
\( x + 5 = 7 — 2x \).
Переносим все слагаемые с \( x \) в одну сторону:
\( x + 2x = 7 — 5 \),
\( 3x = 2 \),
\( x = \frac{2}{3} \).

Проверяем, удовлетворяет ли найденное значение условию \( x + 5 \geq 0 \):
\( \frac{2}{3} + 5 = \frac{2}{3} + \frac{15}{3} = \frac{17}{3} > 0 \), условие выполнено, значит решение верно.

Второй случай: \( x + 5 < 0 \), тогда \( |x + 5| = -(x + 5) = -x — 5 \). Подставляем в уравнение:
\( -x — 5 = 7 — 2x \).
Переносим слагаемые с \( x \) в одну сторону:
\( -x + 2x = 7 + 5 \),
\( x = 12 \).

Проверяем условие \( x + 5 < 0 \) для \( x = 12 \):
\( 12 + 5 = 17 \not< 0 \), условие не выполнено, значит это решение не подходит.

Также нужно проверить область определения исходного уравнения:
\( 7 — 2x \geq 0 \),
\( -2x \geq -7 \),
\( x \leq \frac{7}{2} = 3,5 \).

Из найденных решений подходит только \( x = \frac{2}{3} \), так как \( \frac{2}{3} \leq 3,5 \).

Ответ: \( \frac{2}{3} \).

2) Рассмотрим уравнение \( |3 — 2x| — x = 9 \). Переносим \( -x \) на правую сторону:
\( |3 — 2x| = x + 9 \).

Так как модуль не может быть отрицательным, правая часть должна быть неотрицательной, значит:
\( x + 9 \geq 0 \),
\( x \geq -9 \).

Рассмотрим два случая:

Первый случай: \( 3 — 2x \geq 0 \), тогда \( |3 — 2x| = 3 — 2x \). Подставляем:
\( 3 — 2x = x + 9 \),
Переносим слагаемые с \( x \) в одну сторону:
\( 3 — 9 = x + 2x \),
\( -6 = 3x \),
\( x = -2 \).

Проверяем условие \( 3 — 2x \geq 0 \) для \( x = -2 \):
\( 3 — 2(-2) = 3 + 4 = 7 \geq 0 \), условие выполнено.

Второй случай: \( 3 — 2x < 0 \), тогда \( |3 — 2x| = -(3 — 2x) = -3 + 2x \). Подставляем:
\( -3 + 2x = x + 9 \),
Переносим слагаемые с \( x \) в одну сторону:
\( 2x — x = 9 + 3 \),
\( x = 12 \).

Проверяем условие \( 3 — 2x < 0 \) для \( x = 12 \):
\( 3 — 2(12) = 3 — 24 = -21 < 0 \), условие выполнено.

Проверяем область определения \( x \geq -9 \) для обоих значений:
\( -2 \geq -9 \) — верно,
\( 12 \geq -9 \) — верно.

Ответ: \( -2; 12 \).