ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 157 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \( a \) уравнение:

1) \( 4x + a = 2 \) имеет положительный корень;

2) \( (a + 6)x = 3 \) имеет отрицательный корень;

3) \( (a — 1)x = a^2 — 1 \) имеет единственный положительный корень?

1) \(4x + a = 2\), тогда \(4x = 2 — a\), \(x = \frac{2 — a}{4}\). Положительный корень: \(\frac{2 — a}{4} > 0\), значит \(2 — a > 0\), \(a < 2\). Ответ: \((-\infty; 2)\).

2) \((a + 6)x = 3\), тогда \(x = \frac{3}{a + 6}\). Отрицательный корень: \(\frac{3}{a + 6} < 0\), значит \(a + 6 < 0\), \(a < -6\). Ответ: \((-\infty; -6)\).

3) \((a — 1)x = a^2 — 1\), \(a^2 — 1 = (a — 1)(a + 1)\), если \(a \neq 1\), то \(x = a + 1\). Положительный корень: \(a + 1 > 0\), \(a > -1\), и \(a \neq 1\). Ответ: \((-1; 1) \cup (1; +\infty)\).

Рассмотрим первое уравнение \(4x + a = 2\). Чтобы найти \(x\), нужно выразить его из уравнения: \(4x = 2 — a\), значит \(x = \frac{2 — a}{4}\). Чтобы корень был положительным, нужно чтобы \(\frac{2 — a}{4} > 0\). Делитель 4 положительный, значит знак зависит от числителя: \(2 — a > 0\), откуда \(a < 2\).

Рассмотрим второе уравнение \((a + 6)x = 3\). Выразим \(x\): \(x = \frac{3}{a + 6}\). Чтобы корень был отрицательным, нужно чтобы \(\frac{3}{a + 6} < 0\). Числитель 3 всегда положительный, значит знак дроби зависит от знаменателя: \(a + 6 < 0\), откуда \(a < -6\). Рассмотрим третье уравнение \((a — 1)x = a^{2} — 1\). Заметим, что \(a^{2} — 1 = (a — 1)(a + 1)\). Если \(a \neq 1\), то можно сократить уравнение на \(a — 1\), получим \(x = a + 1\). Чтобы корень был положительным, нужно \(a + 1 > 0\), значит \(a > -1\). При \(a = 1\) уравнение превращается в \(0 \cdot x = 0\), что даёт бесконечное множество решений, а не единственный корень, поэтому \(a \neq 1\).