ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 158 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \( m \) уравнение:

1) \( 2 + 4x = m — 6 \) имеет неотрицательный корень;

2) \( mx = m^2 — 7m \) имеет единственный отрицательный корень?

1) \(2 + 4x = m — 6\)
\(4x = m — 8\)
\(x = \frac{m — 8}{4} \geq 0\)
\(\frac{m}{4} — 2 \geq 0\)
\(\frac{m}{4} \geq 2\)
\(m \geq 8\)
Ответ: \( [8; +\infty) \)

2) \(mx = m^2 — 7m\)
\(x = \frac{m^2 — 7m}{m} = m — 7\)
\(x < 0\)
\(m — 7 < 0\)
\(m < 7\)
Ответ: \((-\infty; 0) \cup (0; 7)\)

Рассмотрим первое уравнение \(2 + 4x = m — 6\). Перенесём число 2 в правую часть, изменив знак: \(4x = m — 6 — 2\). Получаем \(4x = m — 8\).

Чтобы найти \(x\), разделим обе части уравнения на 4: \(x = \frac{m — 8}{4}\).

Нам нужно, чтобы корень \(x\) был неотрицательным, то есть \(x \geq 0\). Подставим выражение для \(x\): \(\frac{m — 8}{4} \geq 0\).

Так как знаменатель 4 положительный, знак неравенства не меняется. Значит, числитель должен быть неотрицательным: \(m — 8 \geq 0\).

Отсюда получаем \(m \geq 8\).

Переходим ко второму уравнению \(mx = m^2 — 7m\). Если \(m = 0\), то уравнение превращается в \(0 = 0\), что не даёт определённого корня, поэтому рассмотрим случай \(m \neq 0\).

Разделим обе части уравнения на \(m\): \(x = \frac{m^2 — 7m}{m} = m — 7\).

Нужно, чтобы корень \(x\) был отрицательным, то есть \(x < 0\). Подставим выражение: \(m — 7 < 0\).

Отсюда следует \(m < 7\).

Итоговые ответы: для первого уравнения \(m \in [8; +\infty)\), для второго уравнения \(m \in (-\infty; 0) \cup (0; 7)\).