ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 159 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите все значения а, при которых имеет два различных действи- тельных корня уравнение:

1) \(ax^2 + 2x — 1 = 0\);

2) \((a + 1)x^2 — (2a — 3)x + a = 0\);

3) \((a — 3)x^2 — 2(a — 5)x + a — 2 = 0\).

1) Уравнение \(ax^{2} + 2x — 1 = 0\) имеет два корня, если дискриминант \(D = 2^{2} — 4 \cdot a \cdot (-1) > 0\), то есть \(4 + 4a > 0\), откуда \(a > -1\). Коэффициент при \(x^{2}\) не должен быть равен нулю, значит \(a \neq 0\). Ответ: \((-1; 0) \cup (0; +\infty)\).

2) Уравнение \((a+1)x^{2} — (2a — 3)x + a = 0\) имеет два корня, если \(D = (2a — 3)^{2} — 4(a+1)a > 0\). Раскроем скобки: \(4a^{2} — 12a + 9 — 4a^{2} — 4a > 0\), упрощаем: \(-16a + 9 > 0\), значит \(a < \frac{9}{16}\). Коэффициент при \(x^{2}\) не равен нулю: \(a + 1 \neq 0\), то есть \(a \neq -1\). Ответ: \((-\infty; -1) \cup (-1; \frac{9}{16})\).

3) Уравнение \((a — 3)x^{2} — 2(a — 5)x + a — 2 = 0\) имеет два корня, если \(D = [-2(a — 5)]^{2} — 4(a — 3)(a — 2) > 0\). Раскроем: \(4(a — 5)^{2} — 4(a — 3)(a — 2) > 0\), что равно \(4[a^{2} — 10a + 25 — (a^{2} — 5a + 6)] > 0\), упрощаем: \(4(-5a + 19) > 0\), значит \(a < \frac{19}{5} = 3.8\). Коэффициент при \(x^{2}\) не равен нулю: \(a — 3 \neq 0\), то есть \(a \neq 3\). Ответ: \((-\infty; 3) \cup (3; 3.8)\).

Рассмотрим первое уравнение \(ax^{2} + 2x — 1 = 0\). Для того чтобы уравнение имело два различных действительных корня, необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля. Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^{2} — 4ac\). Здесь \(a = a\), \(b = 2\), \(c = -1\). Подставляем: \(D = 2^{2} — 4 \cdot a \cdot (-1) = 4 + 4a\). Требуем, чтобы \(D > 0\), значит \(4 + 4a > 0\). Делим обе части на 4: \(1 + a > 0\), откуда \(a > -1\).

Кроме того, коэффициент при \(x^{2}\) не должен быть равен нулю, иначе уравнение перестанет быть квадратным. Значит, \(a \neq 0\).

Итог: \(a\) должно принадлежать промежутку \((-1; 0) \cup (0; +\infty)\).

—

Рассмотрим второе уравнение \((a+1)x^{2} — (2a — 3)x + a = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^{2} — 4ac\), где \(a = a+1\), \(b = -(2a — 3)\), \(c = a\). Выражаем: \(D = (2a — 3)^{2} — 4(a+1)a\).

Раскроем скобки: \((2a — 3)^{2} = 4a^{2} — 12a + 9\), а \(4(a+1)a = 4a^{2} + 4a\). Подставляем и упрощаем: \(D = 4a^{2} — 12a + 9 — 4a^{2} — 4a = -16a + 9\).

Требуем \(D > 0\), значит \(-16a + 9 > 0\). Переносим и делим: \(16a < 9\), откуда \(a < \frac{9}{16}\).

Коэффициент при \(x^{2}\) не должен быть равен нулю, значит \(a + 1 \neq 0\), то есть \(a \neq -1\).

Итог: \(a\) принадлежит промежутку \((-\infty; -1) \cup (-1; \frac{9}{16})\).

—

Рассмотрим третье уравнение \((a — 3)x^{2} — 2(a — 5)x + a — 2 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^{2} — 4ac\), где \(a = a — 3\), \(b = -2(a — 5)\), \(c = a — 2\).

Вычисляем: \(D = [-2(a — 5)]^{2} — 4(a — 3)(a — 2) = 4(a — 5)^{2} — 4(a — 3)(a — 2)\).

Раскроем скобки: \((a — 5)^{2} = a^{2} — 10a + 25\), \((a — 3)(a — 2) = a^{2} — 5a + 6\).

Подставляем: \(D = 4[a^{2} — 10a + 25 — (a^{2} — 5a + 6)] = 4(-5a + 19)\).

Требуем \(D > 0\), значит \(4(-5a + 19) > 0\), откуда \(-5a + 19 > 0\), значит \(5a < 19\), откуда \(a < \frac{19}{5} = 3.8\).

Коэффициент при \(x^{2}\) не должен быть равен нулю, значит \(a — 3 \neq 0\), то есть \(a \neq 3\).

Итог: \(a\) принадлежит промежутку \((-\infty; 3) \cup (3; 3.8)\).