ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 160 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите все значения а, при которых не имеет корней уравнение \((a — 2)x^2 + (2a + 1)x + a = 0\).

Уравнение: \((a — 2)x^{2} + (2a + 1)x + a = 0\)

Дискриминант: \(D = (2a + 1)^{2} — 4(a — 2) \cdot a\)

Раскроем скобки:
\(D = 4a^{2} + 4a + 1 — 4a^{2} + 8a = 12a + 1\)

Условие отсутствия корней:
\(D < 0 \Rightarrow 12a + 1 < 0 \Rightarrow a < -\frac{1}{12}\)

Коэффициент при \(x^{2}\) не равен нулю:
\(a — 2 \neq 0 \Rightarrow a \neq 2\)

Ответ: \(a \in (-\infty; -\frac{1}{12})\)

Дано уравнение \( (a — 2)x^{2} + (2a + 1)x + a = 0 \).

Для того чтобы уравнение не имело корней, нужно, чтобы дискриминант был меньше нуля.

Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^{2} — 4ac \), где \( a = a — 2 \), \( b = 2a + 1 \), \( c = a \).

Подставляем:
\( D = (2a + 1)^{2} — 4(a — 2) \cdot a \).

Раскрываем скобки:
\( (2a + 1)^{2} = 4a^{2} + 4a + 1 \),
\( 4(a — 2) \cdot a = 4a^{2} — 8a \).

Тогда:
\( D = 4a^{2} + 4a + 1 — (4a^{2} — 8a) = 4a^{2} + 4a + 1 — 4a^{2} + 8a = 12a + 1 \).

Условие отсутствия корней:
\( D < 0 \Rightarrow 12a + 1 < 0 \Rightarrow 12a < -1 \Rightarrow a < -\frac{1}{12} \).

Также уравнение должно оставаться квадратным, значит коэффициент при \( x^{2} \) не равен нулю:
\( a — 2 \neq 0 \Rightarrow a \neq 2 \).

Ответ: \( a \in (-\infty; -\frac{1}{12}) \).