ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 162 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Существует ли такое значение а, при котором любое число является решением неравенства (в случае утвердительного ответа укажите это значение):

1) \(ax > -1 — 7x\);

2) \((a^2 — 16)x \geq a + 4\)?

1) \(ax > -1 — 7x\)
Переносим: \(x(a + 7) > -1\).
Если \(a + 7 = 0\), то \(0 > -1\) — верно для любого \(x\).
Значит, \(a = -7\).

2) \((a^2 — 16)x \geq a + 4\)
Запишем как \((a + 4)(a — 4)x \geq a + 4\).
Если \(a + 4 = 0\), то \(0 \geq 0\) — верно для любого \(x\).
Значит, \(a = -4\).

Ответ:
\(a = -7\) для первого,
\(a = -4\) для второго.

Рассмотрим первое неравенство \(ax > -1 — 7x\). Перенесём все слагаемые с \(x\) в левую часть: \(ax + 7x > -1\). Это можно записать как \(x(a + 7) > -1\).

Чтобы любое число \(x\) было решением, левая часть не должна зависеть от \(x\). Если \(a + 7 \neq 0\), то при больших положительных и отрицательных \(x\) неравенство не будет выполняться всегда. Значит, приравниваем коэффициент к нулю: \(a + 7 = 0\), откуда \(a = -7\).

Подставим \(a = -7\) обратно: \(x \cdot 0 > -1\) или \(0 > -1\), что верно для любого \(x\).

Теперь рассмотрим второе неравенство \((a^2 — 16)x \geq a + 4\). Заметим, что \(a^2 — 16 = (a — 4)(a + 4)\), тогда неравенство принимает вид \((a — 4)(a + 4)x \geq a + 4\).

Для того чтобы любое число \(x\) было решением, коэффициент при \(x\) должен быть равен нулю, иначе при больших значениях \(x\) неравенство не будет выполняться. Приравниваем: \(a^2 — 16 = 0\), откуда \(a = 4\) или \(a = -4\).

Подставим эти значения в правую часть. При \(a = 4\) имеем \(0 \geq 8\), что неверно. При \(a = -4\) получаем \(0 \geq 0\), что верно для любого \(x\).

Итог: для первого неравенства \(a = -7\), для второго — \(a = -4\).