ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 163 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Для каждого значения а решите неравенство:

1) \(ax > 0\);

2) \(ax < 1\);

3) \(ax \geq a\);

4) \(2(x — a) < ax — 4\);

5) \((a — 2)x > a^2 — 4\);

6) \((a + 3)x \leq a^2 — 9\).

1) \(ax > 0\)
Если \(a > 0\), то \(x > 0\);
Если \(a < 0\), то \(x < 0\);
Если \(a = 0\), решений нет.

2) \(ax < 1\)
Если \(a > 0\), то \(x < \frac{1}{a}\);
Если \(a < 0\), то \(x > \frac{1}{a}\);
Если \(a = 0\), то любое число.

3) \(ax \geq a\)
Если \(a > 0\), то \(x \geq 1\);
Если \(a < 0\), то \(x \leq 1\);
Если \(a = 0\), то любое число.

4) \(2(x — a) < ax — 4\)
Раскрываем скобки: \(2x — 2a < ax — 4\)
Переносим: \(2x — ax < -4 + 2a\)
Вынесем \(x\): \(x(2 — a) < 2a — 4\)
Если \(a > 2\), то \(x > -2\);
Если \(a < 2\), то \(x < -2\);
Если \(a = 2\), решений нет.

5) \((a — 2)x > a^2 — 4\)
\(a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2)\), значит
\((a — 2)x > (a — 2)(a + 2)\)
Если \(a > 2\), то \(x > a + 2\);
Если \(a < 2\), то \(x < a + 2\);
Если \(a = 2\), решений нет.

6) \((a + 3)x \leq a^2 — 9\)
\(a^2 — 9 = (a + 3)(a — 3)\), значит
\((a + 3)x \leq (a + 3)(a — 3)\)
Если \(a > -3\), то \(x \leq a — 3\);
Если \(a < -3\), то \(x \geq a — 3\);
Если \(a = -3\), то любое число.

1) Рассмотрим неравенство \(ax > 0\). Если \(a > 0\), то для того, чтобы произведение было больше нуля, \(x\) должно быть больше нуля, то есть \(x > 0\). Если \(a < 0\), то знак неравенства меняется, и получается \(x < 0\). Если \(a = 0\), то выражение равно нулю, и неравенство не выполняется, решений нет.

2) Для неравенства \(ax < 1\) рассмотрим случаи. Если \(a > 0\), то делим обе части на \(a\) без изменения знака и получаем \(x < \frac{1}{a}\). Если \(a < 0\), при делении на отрицательное число знак меняется, и получается \(x > \frac{1}{a}\). Если \(a = 0\), то левая часть равна нулю, а \(0 < 1\) верно для любого \(x\), значит решений бесконечно много.

3) Неравенство \(ax \geq a\) при \(a > 0\) делим на \(a\) и получаем \(x \geq 1\). Если \(a < 0\), знак меняется, и получается \(x \leq 1\). При \(a = 0\) неравенство превращается в \(0 \geq 0\), что верно для любого \(x\).

4) Раскроем скобки в неравенстве \(2(x — a) < ax — 4\). Получаем \(2x — 2a < ax — 4\). Переносим все с \(x\) влево: \(2x — ax < -4 + 2a\). Вынесем \(x\) за скобки: \(x(2 — a) < 2a — 4\). Если \(a < 2\), то \(2 — a > 0\), делим на положительное число, знак не меняется, и получаем \(x < \frac{2a — 4}{2 — a}\). Упростим дробь: \(2a — 4 = 2(a — 2)\), знаменатель \(2 — a = -(a — 2)\), значит дробь равна \(-2\). Если \(a > 2\), \(2 — a < 0\), делим на отрицательное число, знак меняется, и получается \(x > -2\). Если \(a = 2\), множитель при \(x\) равен нулю, неравенство принимает вид \(0 < 0\), решений нет.

5) В неравенстве \((a — 2)x > a^2 — 4\) заметим, что \(a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2)\). Значит неравенство можно записать как \((a — 2)x > (a — 2)(a + 2)\). Если \(a \neq 2\), делим обе части на \(a — 2\). При \(a > 2\), делим на положительное число и получаем \(x > a + 2\). При \(a < 2\), делим на отрицательное число, знак меняется, и получаем \(x < a + 2\). При \(a = 2\) решений нет, так как левая часть равна нулю, а правая — тоже нулю, но неравенство строгое.

6) В неравенстве \((a + 3)x \leq a^2 — 9\) используем разложение \(a^2 — 9 = (a + 3)(a — 3)\). Тогда неравенство можно записать как \((a + 3)x \leq (a + 3)(a — 3)\). Если \(a \neq -3\), делим на \(a + 3\). При \(a > -3\), делим на положительное число, знак не меняется, и получаем \(x \leq a — 3\). При \(a < -3\), делим на отрицательное число, знак меняется, и получаем \(x \geq a — 3\). При \(a = -3\) неравенство превращается в \(0 \leq 0\), что верно для любого \(x\).