ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 164 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Для каждого значения а решите неравенство:

1) \(a^2 x \leq 0\);

2) \(a + x < 2 — ax\);

3) \((a + 4)x > 1\).

1) \(a^2 x \leq 0\); если \(a \neq 0\), то \(x \leq 0\); если \(a = 0\), то любое число.

2) \(a + x < 2 — a x\); \(x(a + 1) < 2 — a\); если \(a > -1\), то \(x < \frac{2 — a}{a + 1}\); если \(a < -1\), то \(x > \frac{2 — a}{a + 1}\); если \(a = -1\), то любое число.

3) \((a + 4)x > 1\); если \(a > -4\), то \(x > \frac{1}{a + 4}\); если \(a < -4\), то \(x < \frac{1}{a + 4}\); если \(a = -4\), то решений нет.

Рассмотрим первое неравенство \(a^{2} x \leq 0\). Если \(a \neq 0\), то \(a^{2}\) положительно, значит неравенство равно \(x \leq 0\). Если \(a = 0\), тогда \(a^{2} x = 0\) для любого \(x\), значит любое \(x\) подходит.

Перейдём ко второму неравенству \(a + x < 2 — a x\). Перенесём все в левую часть: \(a + x + a x < 2\). Вынесем \(x\) за скобки: \(a + x(1 + a) < 2\). Перепишем как \(x(1 + a) < 2 — a\).

Если \(a > -1\), то \(1 + a > 0\), делим обе части на \(1 + a\) без изменения знака и получаем \(x < \frac{2 — a}{1 + a}\). Если \(a < -1\), то \(1 + a < 0\), делим на отрицательное число и знак меняется: \(x > \frac{2 — a}{1 + a}\). Если \(a = -1\), то \(1 + a = 0\), тогда неравенство становится \( -1 + x < 2 + x\), что верно для любого \(x\).

Теперь рассмотрим третье неравенство \((a + 4) x > 1\). Если \(a > -4\), то \(a + 4 > 0\), делим на положительное число и получаем \(x > \frac{1}{a + 4}\). Если \(a < -4\), то \(a + 4 < 0\), делим на отрицательное число и знак меняется: \(x < \frac{1}{a + 4}\). Если \(a = -4\), то \(0 \cdot x > 1\) — невозможно, решений нет.