Учебник «Алгебра, 9 класс» под авторством Мерзляка, Полонского и Якира — это незаменимое пособие для учащихся средней школы, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Он отличается высоким качеством содержания и тщательно продуманной методической структурой, что делает процесс изучения математики более доступным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 169 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Трёхзначное число \(n\) таково, что числа \(n — 6\), \(n — 7\) и \(n — 8\) кратны чис- лам 7, 8 и 9 соответственно. Найдите число \(n\).
Число \(n\) должно удовлетворять условиям: \(n-6\) делится на 7, \(n-7\) делится на 8, \(n-8\) делится на 9. Значит, \(n\) при делении на 7 даёт остаток 6, при делении на 8 — остаток 7, при делении на 9 — остаток 8. Тогда \(n+1\) делится на 7, 8 и 9 одновременно. Найдём НОК: \(7 \cdot 8 \cdot 9 = 504\). Значит, \(n+1 = 504\), откуда \(n = 503\). Ответ: 503.
Рассмотрим число \(n\), которое является трёхзначным и удовлетворяет трём условиям: сначала \(n — 6\) делится на 7, затем \(n — 7\) делится на 8, и наконец, \(n — 8\) делится на 9. Это значит, что при делении числа \(n\) на 7 остаток равен 6, при делении на 8 остаток равен 7, а при делении на 9 остаток равен 8. Запишем это в виде сравнений по модулю: \(n \equiv 6 \pmod{7}\), \(n \equiv 7 \pmod{8}\), \(n \equiv 8 \pmod{9}\).
Теперь обратим внимание, что если к числу \(n\) прибавить 1, то остатки при делении на 7, 8 и 9 станут равны нулю. То есть \(n + 1\) делится на 7, 8 и 9 без остатка. Это очень важное наблюдение, так как теперь задача сводится к поиску числа, которое делится на три данных числа одновременно. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 7, 8 и 9.
Для нахождения НОК рассмотрим разложение чисел на простые множители: 7 — простое число, 8 равна \(2^3\), 9 равна \(3^2\). НОК будет произведением всех простых множителей с максимальными степенями, то есть \(7 \times 2^3 \times 3^2\). Посчитаем: \(7 \times 8 \times 9 = 504\). Значит, \(n + 1 = 504\), откуда \(n = 504 — 1 = 503\).
Проверим полученное число \(n = 503\) на выполнение условий. Вычтем из него 6: \(503 — 6 = 497\), и проверим делимость на 7: \(497 \div 7 = 71\) — делится без остатка. Далее вычтем из \(n\) 7: \(503 — 7 = 496\), проверим делимость на 8: \(496 \div 8 = 62\) — делится без остатка. Наконец, вычтем 8: \(503 — 8 = 495\), проверим делимость на 9: \(495 \div 9 = 55\) — делится без остатка. Все условия выполнены, значит искомое число — 503.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.