ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сравните сумму квадратов двух положительных чисел и квадрат их суммы.

Даны числа \(a > 0\), \(b > 0\).

Сравним \(a^2 + b^2\) и \((a + b)^2\).

Вычислим разность:

\(d = a^2 + b^2 — (a + b)^2\)

Раскроем скобки:

\(d = a^2 + b^2 — (a^2 + 2ab + b^2)\)

\(d = a^2 + b^2 — a^2 — 2ab — b^2\)

\(d = -2ab\)

Так как \(a > 0\) и \(b > 0\), то \(ab > 0\), значит \(d < 0\).

Ответ: \(a^2 + b^2 < (a + b)^2\).

Пусть у нас есть два положительных числа \(a > 0\) и \(b > 0\). Мы хотим сравнить сумму их квадратов \(a^2 + b^2\) с квадратом их суммы \((a + b)^2\). Для этого введём разность этих двух выражений и обозначим её через \(d\):

\(d = a^2 + b^2 — (a + b)^2\).

Далее раскроем скобки в выражении \((a + b)^2\) по формуле квадрата суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Подставим это в выражение для \(d\):

\(d = a^2 + b^2 — (a^2 + 2ab + b^2)\).

Теперь выполним вычитание, раскрывая скобки и меняя знаки:

\(d = a^2 + b^2 — a^2 — 2ab — b^2\).

В этом выражении можно сократить одинаковые слагаемые: \(a^2\) с \(-a^2\) и \(b^2\) с \(-b^2\), так как они взаимно уничтожаются. Останется только:

\(d = -2ab\).

Поскольку по условию \(a > 0\) и \(b > 0\), произведение \(ab\) тоже положительно, то есть \(ab > 0\). Значит, выражение \(-2ab\) обязательно отрицательно, то есть

\(d = -2ab < 0\).

Из этого следует, что разность \(d\) отрицательна, а значит сумма квадратов \(a^2 + b^2\) строго меньше квадрата суммы \((a + b)^2\):

\(a^2 + b^2 < (a + b)^2\).

Таким образом, мы доказали неравенство, показывающее, что при положительных \(a\) и \(b\) сумма их квадратов всегда меньше квадрата их суммы. Это важное свойство часто используется в алгебре и анализе для оценки величин и доказательства различных неравенств.