ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 186 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(2 < x + 10 \leq 14;\)

2) \(10 < 4x — 2 < 18;\)

3) \(-1.8 \leq 1 — 7x \leq 36;\)

4) \(1 \leq \frac{x + 1}{4} < 1.5.\)

1) \(2 < x + 10 \leq 14\)
\(2 — 10 < x \leq 14 — 10\)
\(-8 < x \leq 4\)
Ответ: \((-8; 4]\)

2) \(10 < 4x — 2 < 18\)
\(10 + 2 < 4x < 18 + 2\)
\(12 < 4x < 20\)
\(3 < x < 5\)
Ответ: \((3; 5)\)

3) \(-1.8 \leq 1 — 7x \leq 36\)
\(-1.8 — 1 \leq -7x \leq 36 — 1\)
\(-2.8 \leq -7x \leq 35\)
\(\frac{-2.8}{-7} \geq x \geq \frac{35}{-7}\)
\(0.4 \geq x \geq -5\)
Ответ: \([-5; 0.4]\)

4) \(1 \leq \frac{x + 1}{4} < 1.5\)
\(1 \cdot 4 \leq x + 1 < 1.5 \cdot 4\)
\(4 \leq x + 1 < 6\)
\(4 — 1 \leq x < 6 — 1\)
\(3 \leq x < 5\)
Ответ: \([3; 5)\)

1) Начнем с неравенства \(2 < x + 10 \leq 14\). Это двойное неравенство, в котором переменная \(x\) находится посередине между двумя выражениями. Чтобы найти множество значений \(x\), удовлетворяющих условию, необходимо изолировать \(x\). Для этого вычтем 10 из всех трех частей неравенства одновременно: \(2 — 10 < x + 10 — 10 \leq 14 — 10\), что упрощается до \(-8 < x \leq 4\). Таким образом, \(x\) больше \(-8\), но строго больше, и одновременно \(x\) меньше или равен 4. Это означает, что левая граница интервала открытая (не включает \(-8\)), а правая — закрытая (включает 4). На числовой оси это изображается отрезком, который начинается чуть правее точки \(-8\) и заканчивается в точке 4, где стоит закрашенная точка.

2) Рассмотрим неравенство \(10 < 4x — 2 < 18\). Здесь переменная \(x\) находится внутри выражения \(4x — 2\). Сначала упростим неравенство, прибавив 2 ко всем частям: \(10 + 2 < 4x — 2 + 2 < 18 + 2\), что дает \(12 < 4x < 20\). Теперь решим неравенство относительно \(x\), разделив каждую часть на 4: \(\frac{12}{4} < x < \frac{20}{4}\), то есть \(3 < x < 5\). Здесь обе границы интервала открытые, так как знак неравенства строгий. Значит, \(x\) может принимать любые значения между 3 и 5, но не равняться им. На графике это будет изображено отрезком с двумя пустыми кругами на концах.

3) Рассмотрим неравенство \(-1.8 \leq 1 — 7x \leq 36\). Для удобства сначала избавимся от константы 1, вычтя её из всех трех частей: \(-1.8 — 1 \leq 1 — 7x — 1 \leq 36 — 1\), получаем \(-2.8 \leq -7x \leq 35\). Далее, чтобы найти \(x\), нужно разделить все части на \(-7\). При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, поэтому: \(\frac{-2.8}{-7} \geq x \geq \frac{35}{-7}\), что упрощается до \(0.4 \geq x \geq -5\). Перепишем в порядке возрастания: \(-5 \leq x \leq 0.4\). Здесь обе границы включены, так как знаки нестрогие. Значит, \(x\) принадлежит отрезку от \(-5\) до \(0.4\), включая концы.

4) Рассмотрим неравенство \(1 \leq \frac{x + 1}{4} < 1.5\). Чтобы избавиться от дроби, умножим все части неравенства на 4: \(1 \cdot 4 \leq x + 1 < 1.5 \cdot 4\), что дает \(4 \leq x + 1 < 6\). Затем вычтем 1 из всех частей: \(4 — 1 \leq x + 1 — 1 < 6 — 1\), откуда \(3 \leq x < 5\). Здесь левая граница включена, а правая — нет. Значит, множество решений — все \(x\) от 3 включительно до 5, не включая 5. На числовой оси это изображается отрезком с закрашенной точкой на 3 и пустой на 5.