ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Как изменится — увеличится или уменьшится — неправильная дробь \(\frac{a}{b}\), \(a > 0\), \(b > 0\), если её числитель и знаменатель увеличить на одно и то же число?

Даны числа: \(a > 0\), \(b > 0\), \(a \geq b\), \(c > 0\).

Сравним значения дробей:

\(d = \frac{a + c}{b + c} — \frac{a}{b}\);

\(d = \frac{b(a + c) — a(b + c)}{b(b + c)}\);

\(d = \frac{ab + bc — ab — ac}{b(b + c)}\);

\(d = \frac{bc — ac}{b(b + c)} = \frac{c(b — a)}{b(b + c)} \leq 0\).

Ответ: значение уменьшится или останется прежним.

Пусть даны числа \(a > 0\), \(b > 0\), \(a \geq b\) и \(c > 0\). Нужно сравнить дроби \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{a + c}{b + c}\).

Вычислим разность этих дробей:

\(d = \frac{a + c}{b + c} — \frac{a}{b}\).

Приведём дроби к общему знаменателю \(b(b + c)\):

\(d = \frac{b(a + c)}{b(b + c)} — \frac{a(b + c)}{b(b + c)} = \frac{b(a + c) — a(b + c)}{b(b + c)}\).

Раскроем скобки в числителе:

\(b(a + c) — a(b + c) = ab + bc — ab — ac = bc — ac\).

Подставим обратно:

\(d = \frac{bc — ac}{b(b + c)}\).

Вынесем \(c\) за скобки в числителе:

\(d = \frac{c(b — a)}{b(b + c)}\).

Поскольку \(b > 0\), \(c > 0\), \(b + c > 0\), знаменатель положителен.

Так как \(a \geq b\), то \(b — a \leq 0\).

Значит числитель \(c(b — a) \leq 0\), и вся дробь \(d \leq 0\).

Отсюда следует, что

\(\frac{a + c}{b + c} \leq \frac{a}{b}\).

То есть значение дроби при увеличении числителя и знаменателя на одно и то же число \(c\) не увеличивается, а либо уменьшается, либо остаётся равным.