ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 192 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:

1) \(\begin{cases} 8(2 — x) — 2x > 3, \\ -3(6x — 1) — x < 2x; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} \frac{x + 1}{4} — \frac{2x + 3}{3} > 1, \\ 6(2x — 1) < 5(x — 4) — 7; \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} 2(x — 3) \leq 3x + 4(x + 1), \\ (x — 3)(x + 3) \leq (x — 4)^2 — 1; \end{cases}\)

4) \(\begin{cases} 2(x + 11) \geq 3(6 — x), \\ (x — 3)(x + 6) \geq (x + 5)(x — 4); \end{cases}\)

5) \(\begin{cases} 2x — \frac{x + 1}{2} \leq \frac{x + 1}{3}, \\ (x + 5)(x — 3) + 41 \geq (x — 6)^2; \end{cases}\)

6) \(\begin{cases} 5x + 4 \leq 2x — 8, \\ (x + 2)(x — 1) \geq (x + 3)(x — 2); \end{cases}\)

7) \(\begin{cases} \frac{x + 2}{7} < \frac{x + 1}{4}, \\ (x — 6)(x + 2) + 4x < (x — 7)(x + 7); \end{cases}\)

8) \(\begin{cases} \frac{6x + 1}{6} — \frac{5x — 1}{5} > -1, \\ 2(x + 8) — 3(x + 2) < 5 — x. \end{cases}\)

1)
Решаем первое неравенство: \(8(2 — x) — 2x > 3\), раскрываем скобки: \(16 — 8x — 2x > 3\), упрощаем: \(16 — 10x > 3\), переносим: \(-10x > -13\), делим на \(-10\), меняя знак: \(x < \frac{13}{10}\).

Второе: \(-3(6x — 1) — x < 2x\), раскрываем: \(-18x + 3 — x < 2x\), упрощаем: \(-19x + 3 < 2x\), переносим: \(-21x < -3\), делим на \(-21\), меняя знак: \(x > \frac{1}{7}\).

Ответ: \(x \in \left(\frac{1}{7}; \frac{13}{10}\right)\).

2)
Первое: \(\frac{x + 1}{4} — \frac{2x + 3}{3} > 1\), умножаем на 12: \(3(x + 1) — 4(2x + 3) > 12\), раскрываем: \(3x + 3 — 8x — 12 > 12\), упрощаем: \(-5x — 9 > 12\), переносим: \(-5x > 21\), делим на \(-5\), меняя знак: \(x < -\frac{21}{5}\).

Второе: \(6(2x — 1) < 5(x — 4) — 7\), раскрываем: \(12x — 6 < 5x — 20 — 7\), упрощаем: \(12x — 6 < 5x — 27\), переносим: \(7x < -21\), делим на 7: \(x < -3\).

Ответ: \(x < -\frac{21}{5}\).

3)
Первое: \(2(x — 3) \leq 3x + 4(x + 1)\), раскрываем: \(2x — 6 \leq 3x + 4x + 4\), упрощаем: \(2x — 6 \leq 7x + 4\), переносим: \(-5x \leq 10\), делим на \(-5\), меняя знак: \(x \geq -2\).

Второе: \((x — 3)(x + 3) \leq (x — 4)^2 — 1\), раскрываем: \(x^2 — 9 \leq x^2 — 8x + 15\), упрощаем: \(-9 \leq -8x + 15\), переносим: \(-24 \leq -8x\), делим на \(-8\), меняя знак: \(x \leq 3\).

Ответ: \(x \in [-2; 3]\).

4)
Первое: \(2(x + 11) \geq 3(6 — x)\), раскрываем: \(2x + 22 \geq 18 — 3x\), переносим: \(5x \geq -4\), делим на 5: \(x \geq -\frac{4}{5}\).

Второе: \((x — 3)(x + 6) \geq (x + 5)(x — 4)\), раскрываем: \(x^2 + 3x — 18 \geq x^2 + x — 20\), упрощаем: \(3x — 18 \geq x — 20\), переносим: \(2x \geq -2\), делим на 2: \(x \geq -1\).

Ответ: \(x \geq -\frac{4}{5}\).

5)
Первое: \(2x — \frac{x + 1}{2} \leq \frac{x + 1}{3}\), умножаем на 6: \(12x — 3(x + 1) \leq 2(x + 1)\), раскрываем: \(12x — 3x — 3 \leq 2x + 2\), упрощаем: \(9x — 3 \leq 2x + 2\), переносим: \(7x \leq 5\), делим на 7: \(x \leq \frac{5}{7}\).

Второе: \((x + 5)(x — 3) + 41 \geq (x — 6)^2\), раскрываем: \(x^2 + 2x — 15 + 41 \geq x^2 — 12x + 36\), упрощаем: \(2x + 26 \geq -12x + 36\), переносим: \(14x \geq 10\), делим на 14: \(x \geq \frac{5}{7}\).

Ответ: \(x = \frac{5}{7}\).

6)
Первое: \(5x + 4 \leq 2x — 8\), переносим: \(3x \leq -12\), делим на 3: \(x \leq -4\).

Второе: \((x + 2)(x — 1) \geq (x + 3)(x — 2)\), раскрываем: \(x^2 + x — 2 \geq x^2 + x — 6\), упрощаем: \(-2 \geq -6\) (всегда верно).

Ответ: \(x \leq -4\).

7)
Первое: \(\frac{x + 2}{7} < \frac{x + 1}{4}\), умножаем: \(4(x + 2) < 7(x + 1)\), раскрываем: \(4x + 8 < 7x + 7\), переносим: \(-3x < -1\), делим на \(-3\), меняя знак: \(x > \frac{1}{3}\).

Второе: \((x — 6)(x + 2) + 4x < (x — 7)(x + 7)\), раскрываем: \(x^2 — 4x — 12 < x^2 — 49\), упрощаем: \(-12 < -49\) (ложь).

Ответ: нет решений.

8)
Первое: \(\frac{6x + 1}{6} — \frac{5x — 1}{5} > -1\), умножаем: \(5(6x + 1) — 6(5x — 1) > -30\), раскрываем: \(30x + 5 — 30x + 6 > -30\), упрощаем: \(11 > -30\) (всегда верно).

Второе: \(2(x + 8) — 3(x + 2) < 5 — x\), раскрываем: \(2x + 16 — 3x — 6 < 5 — x\), упрощаем: \(-x + 10 < 5 — x\), переносим: \(10 < 5\) (ложь).

Ответ: нет решений.

1)
Рассмотрим первое неравенство \(8(2 — x) — 2x > 3\). Сначала раскроем скобки, умножая 8 на каждое слагаемое внутри: получаем \(16 — 8x — 2x > 3\). Далее объединим подобные члены с переменной \(x\), это \(-8x — 2x = -10x\), и перепишем неравенство как \(16 — 10x > 3\). Чтобы изолировать переменную, перенесём число 16 вправо, меняя знак: \(-10x > 3 — 16\), что даёт \(-10x > -13\). Теперь нужно разделить обе части на \(-10\), но при делении на отрицательное число знак неравенства меняется, поэтому получаем \(x < \frac{13}{10}\).

Переходим ко второму неравенству \(-3(6x — 1) — x < 2x\). Раскрываем скобки, умножая \(-3\) на каждое слагаемое: \(-18x + 3 — x < 2x\). Объединяем подобные члены с \(x\): \(-18x — x = -19x\), и переписываем: \(-19x + 3 < 2x\). Переносим \(3\) вправо: \(-19x < 2x — 3\). Затем переносим \(2x\) влево, меняя знак: \(-19x — 2x < -3\), что даёт \(-21x < -3\). Делим обе части на \(-21\), меняя знак неравенства: \(x > \frac{1}{7}\).

Таким образом, чтобы удовлетворять обоим неравенствам одновременно, \(x\) должен быть больше \(\frac{1}{7}\) и меньше \(\frac{13}{10}\). Итоговое решение — промежуток \(x \in \left(\frac{1}{7}; \frac{13}{10}\right)\), где все значения \(x\) удовлетворяют обоим условиям.

2)
Начинаем с первого неравенства \(\frac{x + 1}{4} — \frac{2x + 3}{3} > 1\). Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на общий знаменатель 12: \(3(x + 1) — 4(2x + 3) > 12\). Раскрываем скобки: \(3x + 3 — 8x — 12 > 12\). Объединяем подобные члены с \(x\): \(3x — 8x = -5x\), а числа: \(3 — 12 = -9\). Получаем \(-5x — 9 > 12\). Переносим \(-9\) вправо: \(-5x > 21\). Делим на \(-5\), меняя знак неравенства: \(x < -\frac{21}{5}\).

Второе неравенство: \(6(2x — 1) < 5(x — 4) — 7\). Раскрываем скобки: \(12x — 6 < 5x — 20 — 7\). Упрощаем правую часть: \(5x — 27\). Переносим все члены с \(x\) влево и числа вправо: \(12x — 5x < -27 + 6\), то есть \(7x < -21\). Делим на 7: \(x < -3\).

Поскольку оба неравенства требуют \(x\) меньше определённых чисел, и \(-\frac{21}{5} = -4,2\) меньше чем \(-3\), то итоговое решение — все \(x\), меньшие \(-4,2\), то есть \(x < -\frac{21}{5}\).

3)
Рассмотрим первое неравенство \(2(x — 3) \leq 3x + 4(x + 1)\). Раскрываем скобки слева: \(2x — 6\), справа: \(3x + 4x + 4 = 7x + 4\). Записываем: \(2x — 6 \leq 7x + 4\). Переносим все члены с \(x\) влево, числа — вправо: \(2x — 7x \leq 4 + 6\), то есть \(-5x \leq 10\). Делим обе части на \(-5\), меняя знак неравенства: \(x \geq -2\).

Второе неравенство: \((x — 3)(x + 3) \leq (x — 4)^2 — 1\). Раскрываем скобки: \(x^2 — 9 \leq x^2 — 8x + 16 — 1\), упрощаем правую часть: \(x^2 — 8x + 15\). Переносим \(x^2\) влево и \(x^2\) вправо, они взаимно уничтожаются, остаётся \(-9 \leq -8x + 15\). Переносим 15 влево: \(-9 — 15 \leq -8x\), то есть \(-24 \leq -8x\). Делим на \(-8\), меняя знак: \(x \leq 3\).

Объединяя оба решения, получаем \(x \in [-2; 3]\), то есть все значения \(x\) от \(-2\) до \(3\) включительно удовлетворяют обоим неравенствам.

4)
Первое неравенство: \(2(x + 11) \geq 3(6 — x)\). Раскрываем скобки: \(2x + 22 \geq 18 — 3x\). Переносим \(x\) влево, числа — вправо: \(2x + 3x \geq 18 — 22\), то есть \(5x \geq -4\). Делим на 5: \(x \geq -\frac{4}{5}\).

Второе: \((x — 3)(x + 6) \geq (x + 5)(x — 4)\). Раскрываем скобки: \(x^2 + 3x — 18 \geq x^2 + x — 20\). Переносим \(x^2\) влево и вправо, они взаимно уничтожаются, остаётся \(3x — 18 \geq x — 20\). Переносим \(x\) влево, числа — вправо: \(3x — x \geq -20 + 18\), то есть \(2x \geq -2\). Делим на 2: \(x \geq -1\).

Сравнивая два результата, видим, что \(x\) должен быть не меньше наибольшего из двух значений, то есть \(x \geq -\frac{4}{5}\).

5)
Первое неравенство: \(2x — \frac{x + 1}{2} \leq \frac{x + 1}{3}\). Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части на 6: \(12x — 3(x + 1) \leq 2(x + 1)\). Раскрываем скобки: \(12x — 3x — 3 \leq 2x + 2\). Упрощаем: \(9x — 3 \leq 2x + 2\). Переносим \(x\) влево, числа — вправо: \(9x — 2x \leq 2 + 3\), то есть \(7x \leq 5\). Делим на 7: \(x \leq \frac{5}{7}\).

Второе: \((x + 5)(x — 3) + 41 \geq (x — 6)^2\). Раскрываем скобки: \(x^2 + 2x — 15 + 41 \geq x^2 — 12x + 36\). Упрощаем левую часть: \(x^2 + 2x + 26\). Переносим \(x^2\) влево и вправо, они взаимно уничтожаются, остаётся \(2x + 26 \geq -12x + 36\). Переносим \(x\) влево, числа — вправо: \(2x + 12x \geq 36 — 26\), то есть \(14x \geq 10\). Делим на 14: \(x \geq \frac{5}{7}\).

Объединяя два результата, получаем точное значение \(x = \frac{5}{7}\), которое удовлетворяет обоим неравенствам одновременно.

6)
Рассмотрим первое неравенство \(5x + 4 \leq 2x — 8\). Переносим все члены с переменной \(x\) влево, а числа вправо: \(5x — 2x \leq -8 — 4\), что даёт \(3x \leq -12\). Делим обе части на 3: \(x \leq -4\).

Второе неравенство: \((x + 2)(x — 1) \geq (x + 3)(x — 2)\). Раскрываем скобки: слева \(x^2 + x — 2\), справа \(x^2 + x — 6\). Переносим все в одну сторону: \(x^2 + x — 2 — x^2 — x + 6 \geq 0\), что упрощается до \(4 \geq 0\). Это верно для всех \(x\), то есть второе неравенство всегда выполняется.

Итоговое решение — все \(x\), удовлетворяющие первому неравенству, то есть \(x \leq -4\).

7)
Первое неравенство: \(\frac{x + 2}{7} < \frac{x + 1}{4}\). Умножаем обе части на 28 (наименьший общий знаменатель): \(4(x + 2) < 7(x + 1)\). Раскрываем скобки: \(4x + 8 < 7x + 7\). Переносим \(x\) влево, числа — вправо: \(4x — 7x < 7 — 8\), то есть \(-3x < -1\). Делим на \(-3\), меняя знак: \(x > \frac{1}{3}\).

Второе неравенство: \((x — 6)(x + 2) + 4x < (x — 7)(x + 7)\). Раскрываем скобки: \(x^2 — 4x — 12 + 4x < x^2 — 49\), упрощаем левую часть: \(x^2 — 12\). Переносим \(x^2\) влево и вправо, они взаимно уничтожаются, остаётся \(-12 < -49\), что неверно.

Поскольку второе неравенство не выполняется ни для какого \(x\), решение отсутствует.

8)
Первое неравенство: \(\frac{6x + 1}{6} — \frac{5x — 1}{5} > -1\). Умножаем обе части на 30 (наименьший общий знаменатель): \(5(6x + 1) — 6(5x — 1) > -30\). Раскрываем скобки: \(30x + 5 — 30x + 6 > -30\). Упрощаем: \(11 > -30\), что всегда верно.

Второе неравенство: \(2(x + 8) — 3(x + 2) < 5 — x\). Раскрываем скобки: \(2x + 16 — 3x — 6 < 5 — x\), упрощаем левую часть: \(-x + 10 < 5 — x\). Переносим \(-x\) влево и вправо, они сокращаются, остаётся \(10 < 5\), что неверно.

Поскольку второе неравенство не выполняется ни при каких значениях \(x\), решения нет.