ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 193 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите множество решений системы неравенств:

1) \(\begin{cases} \frac{2x — 3}{5} — \frac{4x — 9}{6} > 1, \\ 5(x — 1) + 7(x + 2) > 3; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} \frac{x + 1}{2} — \frac{x + 2}{3} < \frac{x + 12}{6}, \\ 0.3x — 19 \leq 1.7x — 5; \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} (x — 6)^2 < (x — 2)^2 — 8, \\ 3(2x — 1) — 8 < 34 — 3(5x — 9); \end{cases}\)

4) \(\begin{cases} \frac{3x — 2}{3} — \frac{4x + 1}{4} \leq 1, \\ (x — 1)(x — 2) > (x + 4)(x — 7). \end{cases}\)

1)
Первое неравенство:
\(6(2x — 3) — 5(4x — 9) > 30;\)
\(12x — 18 — 20x + 45 > 30;\)
\(8x < -3, \quad x < -\frac{3}{8};\)

Второе неравенство:
\(5x — 5 + 7x + 14 > 3;\)
\(12x > -6, \quad x > -0.5;\)

Ответ: \((-0.5; -\frac{3}{8})\).

2)
Первое неравенство:
\(3(x + 1) — 2(x + 2) < x + 12;\)
\(3x + 3 — 2x — 4 < x + 12;\)
\(-1 < 12, \quad x \in \mathbb{R};\)

Второе неравенство:
\(0.3x — 19 \leq 1.7x — 5;\)
\(1.4x \geq -14, \quad x \geq -10;\)

Ответ: \([-10; +\infty)\).

3)
Первое неравенство:
\((x — 6)^2 < (x — 2)^2 — 8;\)
\(x^2 — 12x + 36 < x^2 — 4x + 4 — 8;\)
\(8x > 40, \quad x > 5;\)

Второе неравенство:
\(3(2x — 1) — 8 < 34 — 3(5x — 9);\)
\(6x — 3 — 8 < 34 — 15x + 27;\)
\(21x < 72, \quad x < \frac{3}{7};\)

Ответ: Решений нет

4)
Первое неравенство:
\(4(3x — 2) — 3(4x + 1) \leq 12;\)
\(12x — 8 — 12x — 3 \leq 12;\)
\(-11 \leq 12, \quad x \in \mathbb{R};\)

Второе неравенство:
\((x — 1)(x — 2) > (x + 4)(x — 7);\)
\(x^2 — 3x + 2 > x^2 — 3x — 28;\)
\(2 > -28, \quad x \in \mathbb{R};\)

Ответ: \((-\infty; +\infty)\).

1)
Рассмотрим первое неравенство системы:
\(\frac{2x — 3}{5} — \frac{4x — 9}{6} > 1.\)
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части на наименьшее общее кратное 30:
\(30 \cdot \left(\frac{2x — 3}{5} — \frac{4x — 9}{6}\right) > 30 \cdot 1.\)
Получаем:
\(6(2x — 3) — 5(4x — 9) > 30,\)
Раскроем скобки:
\(12x — 18 — 20x + 45 > 30,\)
Сложим подобные члены:
\(-8x + 27 > 30,\)
Вычтем 27 из обеих частей:
\(-8x > 3,\)
Разделим на -8, меняя знак неравенства:
\(x < -\frac{3}{8}.\)

Теперь второе неравенство:
\(5(x — 1) + 7(x + 2) > 3.\)
Раскроем скобки:
\(5x — 5 + 7x + 14 > 3,\)
Сложим подобные члены:
\(12x + 9 > 3,\)
Вычтем 9 из обеих частей:
\(12x > -6,\)
Разделим на 12:
\(x > -0.5.\)

Общее решение системы — пересечение двух множеств:
\(x > -0.5\) и \(x < -\frac{3}{8}.\)
То есть:
\((-0.5; -\frac{3}{8}).\)

2)
Первое неравенство:
\(\frac{x + 1}{2} — \frac{x + 2}{3} < \frac{x + 12}{6}.\)
Умножим обе части на 6:
\(6 \cdot \left(\frac{x + 1}{2} — \frac{x + 2}{3}\right) < 6 \cdot \frac{x + 12}{6},\)
Раскроем скобки:
\(3(x + 1) — 2(x + 2) < x + 12,\)
Раскроем скобки:
\(3x + 3 — 2x — 4 < x + 12,\)
Сложим:
\(x — 1 < x + 12,\)
Вычтем \(x\) из обеих частей:
\(-1 < 12,\)
Это верно для всех \(x.\)

Второе неравенство:
\(0.3x — 19 \leq 1.7x — 5.\)
Вычтем \(0.3x\) из обеих частей:
\(-19 \leq 1.4x — 5,\)
Прибавим 5 к обеим частям:
\(-14 \leq 1.4x,\)
Разделим на 1.4:
\(x \geq -10.\)

Общее решение:
\([-10; +\infty).\)

3)
Первое неравенство:
\((x — 6)^2 < (x — 2)^2 — 8.\)
Раскроем квадраты:
\(x^2 — 12x + 36 < x^2 — 4x + 4 — 8,\)
Упростим правую часть:
\(x^2 — 4x — 4,\)
Вычтем \(x^2\) из обеих частей:
\(-12x + 36 < -4x — 4,\)
Перенесём все влево:
\(-12x + 36 + 4x + 4 < 0,\)
\(-8x + 40 < 0,\)
Вычтем 40:
\(-8x < -40,\)
Разделим на -8, поменяв знак:
\(x > 5.\)

Второе неравенство:
\(3(2x — 1) — 8 < 34 — 3(5x — 9).\)
Раскроем скобки:
\(6x — 3 — 8 < 34 — 15x + 27,\)
Упростим:
\(6x — 11 < 61 — 15x,\)
Перенесём \(15x\) влево и \(-11\) вправо:
\(6x + 15x < 61 + 11,\)
\(21x < 72,\)
Разделим на 21:
\(x < \frac{72}{21} = \frac{24}{7}.\)

Общее решение:
\(x > 5\) и \(x < \frac{24}{7},\)
нет таких \(x\), значит решений нет.

4)
Первое неравенство:
\(\frac{3x — 2}{3} — \frac{4x + 1}{4} \leq 1.\)
Умножим на 12:
\(4(3x — 2) — 3(4x + 1) \leq 12,\)
Раскроем скобки:
\(12x — 8 — 12x — 3 \leq 12,\)
Упростим:
\(-11 \leq 12,\)
верно для всех \(x.\)

Второе неравенство:
\((x — 1)(x — 2) > (x + 4)(x — 7).\)
Раскроем скобки:
\(x^2 — 3x + 2 > x^2 — 3x — 28,\)
Вычтем \(x^2 — 3x\) из обеих частей:
\(2 > -28,\)
верно для всех \(x.\)

Общее решение:
\((-\infty; +\infty).\)