ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 194 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите целые решения системы неравенств:

1) \(\begin{cases} 2x — 1 < 1.7 — x, \\ 3x — 2 \geq x — 8; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} \frac{x}{3} — \frac{x}{4} < 1, \\ 2x — \frac{x}{2} \geq 10. \end{cases}\)

1) \(2x — 1 < 1,7 — x\)
\(2x + x < 1,7 + 1\)
\(3x < 2,7\)
\(x < 0,9\)

\(3x — 2 \geq x — 8\)
\(3x — x \geq -8 + 2\)
\(2x \geq -6\)
\(x \geq -3\)

Целые решения: \(-3, -2, -1, 0\)

2) \(\frac{x}{3} — \frac{x}{4} < 1\)
\(\frac{4x}{12} — \frac{3x}{12} < 1\)
\(\frac{x}{12} < 1\)
\(x < 12\)

\(2x — \frac{x}{2} \geq 10\)
\(\frac{4x}{2} — \frac{x}{2} \geq 10\)
\(\frac{3x}{2} \geq 10\)
\(3x \geq 20\)
\(x \geq \frac{20}{3}\)

Целые решения: \(7, 8, 9, 10, 11\)

1) Рассмотрим первое неравенство \(2x — 1 < 1,7 — x\). Чтобы решить его, сначала нужно собрать все переменные \(x\) с одной стороны, а числа — с другой. Для этого прибавим \(x\) к обеим частям неравенства: \(2x — 1 + x < 1,7 — x + x\), что упрощается до \(3x — 1 < 1,7\). Далее прибавим 1 к обеим частям, чтобы избавиться от минуса: \(3x — 1 + 1 < 1,7 + 1\), то есть \(3x < 2,7\). Теперь разделим обе части на 3, чтобы найти \(x\): \(x < \frac{2,7}{3}\), что даёт \(x < 0,9\). Это означает, что все значения \(x\), меньше 0,9, удовлетворяют первому неравенству.

Теперь решим второе неравенство \(3x — 2 \geq x — 8\). Сначала перенесём все члены с \(x\) в левую часть, а числа — в правую. Для этого вычтем \(x\) из обеих частей: \(3x — 2 — x \geq x — 8 — x\), что даёт \(2x — 2 \geq -8\). Затем прибавим 2 к обеим частям: \(2x — 2 + 2 \geq -8 + 2\), то есть \(2x \geq -6\). Разделим обе части на 2: \(x \geq \frac{-6}{2}\), получаем \(x \geq -3\). Это значит, что все значения \(x\), начиная с \(-3\) и больше, удовлетворяют второму неравенству.

Объединяя оба условия, получаем, что \(x\) должно быть одновременно меньше 0,9 и не меньше \(-3\). Следовательно, \(x\) лежит в промежутке от \(-3\) включительно до 0,9 невключительно. Среди целых чисел подходят те, которые находятся в этом интервале: \(-3, -2, -1, 0\).

2) Рассмотрим первое неравенство \(\frac{x}{3} — \frac{x}{4} < 1\). Чтобы упростить выражение, найдём общий знаменатель для дробей — это 12. Перепишем дроби с общим знаменателем: \(\frac{4x}{12} — \frac{3x}{12} < 1\). Теперь вычтем дроби: \(\frac{4x — 3x}{12} < 1\), то есть \(\frac{x}{12} < 1\). Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части неравенства на 12: \(x < 12\). Это означает, что все значения \(x\), меньше 12, удовлетворяют первому неравенству.

Рассмотрим второе неравенство \(2x — \frac{x}{2} \geq 10\). Приведём слагаемые к общему знаменателю 2: \( \frac{4x}{2} — \frac{x}{2} \geq 10\). Вычтем дроби: \(\frac{4x — x}{2} \geq 10\), то есть \(\frac{3x}{2} \geq 10\). Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части на 2: \(3x \geq 20\). Разделим обе части на 3: \(x \geq \frac{20}{3}\). Это значит, что все значения \(x\), начиная с \(\frac{20}{3}\) и больше, удовлетворяют второму неравенству.

Объединяя оба условия, получаем, что \(x\) должно быть одновременно меньше 12 и не меньше \(\frac{20}{3}\). Следовательно, \(x\) лежит в промежутке от \(\frac{20}{3}\) включительно до 12 невключительно. Среди целых чисел подходят те, которые находятся в этом интервале: \(7, 8, 9, 10, 11\).