ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 195 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сколько целых решений имеет система неравенств:

1) \(\begin{cases} 4x + 3 \geq 6x — 7, \\ 3(x + 8) \geq 4(8 — x); \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} x — \frac{x + 1}{3} — \frac{x — 2}{6} < 2, \\ \frac{2x — 5}{3} \geq -3? \end{cases}\)

1) \(4x + 3 \geq 6x — 7\)
\(4x — 6x \geq -7 — 3\)
\(-2x \geq -10\)
\(x \leq 5\)

\(3(x + 8) \geq 4(8 — x)\)
\(3x + 24 \geq 32 — 4x\)
\(3x + 4x \geq 32 — 24\)
\(7x \geq 8\)
\(x \geq \frac{8}{7}\)

Целые \(x: 2, 3, 4, 5\)
Ответ: 4

2) \(x — \frac{x + 1}{3} — \frac{x — 2}{6} < 2\)
Домножаем на 6:
\(6x — 2(x + 1) — (x — 2) < 12\)
\(6x — 2x — 2 — x + 2 < 12\)
\(3x < 12\)
\(x < 4\)

\(\frac{2x — 5}{3} \geq -3\)
\(2x — 5 \geq -9\)
\(2x \geq -4\)
\(x \geq -2\)

Целые \(x: -2, -1, 0, 1, 2, 3\)
Ответ: 6

1) Начнем с первого неравенства: \(4x + 3 \geq 6x — 7\). Здесь нам нужно найти все значения \(x\), при которых левая часть выражения не меньше правой. Чтобы это сделать, нужно собрать все переменные в одну сторону, а числа — в другую. Для этого вычтем \(6x\) из обеих частей, получим \(4x — 6x + 3 \geq -7\). Упростим выражение: \(4x — 6x = -2x\), значит неравенство примет вид \(-2x + 3 \geq -7\). Затем вычтем 3 из обеих частей, останется \(-2x \geq -10\).

Далее, чтобы найти \(x\), нужно разделить обе части неравенства на \(-2\). Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, делим и меняем знак: \(x \leq \frac{-10}{-2} = 5\). Это значит, что все значения \(x\), меньшие или равные 5, подходят для первого неравенства.

Теперь рассмотрим второе неравенство: \(3(x + 8) \geq 4(8 — x)\). Для начала раскроем скобки с обеих сторон. Левая часть: \(3 \cdot x + 3 \cdot 8 = 3x + 24\). Правая часть: \(4 \cdot 8 — 4 \cdot x = 32 — 4x\). Получаем \(3x + 24 \geq 32 — 4x\). Переносим все \(x\) в левую сторону и числа — в правую: \(3x + 4x \geq 32 — 24\), упрощаем: \(7x \geq 8\). Делим обе части на 7: \(x \geq \frac{8}{7}\).

Объединяя оба условия, получаем, что \(x\) должно удовлетворять одновременно \(x \leq 5\) и \(x \geq \frac{8}{7}\). Значит, \(x\) лежит в интервале от \(\frac{8}{7}\) до 5 включительно. Целые числа, которые попадают в этот промежуток: \(2, 3, 4, 5\). Следовательно, ответ — 4.

2) Рассмотрим первое неравенство: \(x — \frac{x + 1}{3} — \frac{x — 2}{6} < 2\). Здесь есть дроби с разными знаменателями, поэтому сначала нужно избавиться от них, умножив все выражение на наименьший общий знаменатель, который равен 6. Умножаем обе части неравенства на 6: \(6 \cdot x — 6 \cdot \frac{x + 1}{3} — 6 \cdot \frac{x — 2}{6} < 6 \cdot 2\).

Упрощаем: \(6x — 2(x + 1) — (x — 2) < 12\). Раскрываем скобки: \(6x — 2x — 2 — x + 2 < 12\). Сложим похожие члены: \(6x — 2x — x = 3x\), а \(-2 + 2 = 0\). Получаем \(3x < 12\). Делим обе части на 3: \(x < 4\). Значит, все \(x\), меньшие 4, подходят под первое условие.

Теперь второе неравенство: \(\frac{2x — 5}{3} \geq -3\). Чтобы избавиться от знаменателя, умножаем обе части на 3: \(2x — 5 \geq -9\). Прибавляем 5 к обеим частям: \(2x \geq -4\). Делим на 2: \(x \geq -2\).

Объединяем условия: \(x \geq -2\) и \(x < 4\). Значит, \(x\) лежит в промежутке от \(-2\) до 4, не включая 4. Целые числа, удовлетворяющие этим условиям, — \(-2, -1, 0, 1, 2, 3\). Всего таких чисел 6.