ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 196 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите область определения выражения:

1) \(\sqrt{6x — 9} + \sqrt{2x — 5};\)

2) \(\sqrt{3x + 5} — \frac{1}{\sqrt{15 — 5x}};\)

3) \(\sqrt{2x — 4} + \sqrt{1 — x};\)

4) \(\sqrt{12 — 3x} — \frac{5}{x — 4}.\)

1) Для \( \sqrt{6x — 9} + \sqrt{2x — 5} \) подкоренные выражения должны быть неотрицательны: \( 6x — 9 \geq 0 \) и \( 2x — 5 \geq 0 \). Решаем: \( x \geq \frac{9}{6} = 1.5 \) и \( x \geq \frac{5}{2} = 2.5 \). Берём большее: \( x \geq 2.5 \). Ответ: \( [2.5; +\infty) \).

2) Для \( \sqrt{3x + 5} — \frac{1}{\sqrt{15 — 5x}} \) нужно: \( 3x + 5 \geq 0 \) и \( 15 — 5x > 0 \). Решаем: \( x \geq -\frac{5}{3} \) и \( x < 3 \). Ответ: \( \left[-\frac{5}{3}; 3 \right) \).

3) Для \( \sqrt{2x — 4} + \sqrt{1 — x} \) условия: \( 2x — 4 \geq 0 \) и \( 1 — x \geq 0 \). Решаем: \( x \geq 2 \) и \( x \leq 1 \). Пересечения нет. Ответ: пустое множество.

4) Для \( \sqrt{12 — 3x} — \frac{5}{x — 4} \) требуется: \( 12 — 3x \geq 0 \) и \( x \neq 4 \). Решаем: \( x \leq 4 \) и \( x \neq 4 \). Ответ: \( (-\infty; 4) \).

Выражение 1) \( \sqrt{6x — 9} + \sqrt{2x — 5} \) содержит два корня, под которыми стоят выражения \( 6x — 9 \) и \( 2x — 5 \). Чтобы корни имели смысл, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны, то есть удовлетворяли условиям \( 6x — 9 \geq 0 \) и \( 2x — 5 \geq 0 \). Рассмотрим каждое из них отдельно.

Первое неравенство \( 6x — 9 \geq 0 \) можно решить, прибавив к обеим частям 9, получим \( 6x \geq 9 \). Далее разделим обе части на 6, так как 6 положительно, знак неравенства сохраняется, и получаем \( x \geq \frac{9}{6} \). Сократим дробь: \( \frac{9}{6} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{3}{2} = 1.5 \). Значит, первый корень существует при \( x \geq 1.5 \).

Второе неравенство \( 2x — 5 \geq 0 \) решаем аналогично: прибавляем 5 к обеим частям, получаем \( 2x \geq 5 \). Делим обе части на 2, знак неравенства сохраняется, получаем \( x \geq \frac{5}{2} = 2.5 \).

Поскольку оба корня должны иметь смысл одновременно, область определения выражения — пересечение двух множеств: \( x \geq 1.5 \) и \( x \geq 2.5 \). Пересечение — это множество, где выполняется более строгое условие, то есть \( x \geq 2.5 \).

Ответ: \( [2.5; +\infty) \).

Выражение 2) \( \sqrt{3x + 5} — \frac{1}{\sqrt{15 — 5x}} \) содержит корни и дробь с корнем в знаменателе. Для существования выражения необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны, а знаменатель не равнялся нулю.

Рассмотрим первый корень: \( 3x + 5 \geq 0 \). Решаем: \( 3x \geq -5 \), откуда \( x \geq -\frac{5}{3} \). Это условие гарантирует, что числитель существует и определён.

Для второго корня, который находится в знаменателе, условие более строгое: подкоренное выражение должно быть строго положительным, иначе знаменатель будет равен нулю или корень не определён. Значит, \( 15 — 5x > 0 \). Решаем: \( 15 > 5x \), откуда \( x < 3 \).

Область определения — пересечение условий \( x \geq -\frac{5}{3} \) и \( x < 3 \). Таким образом, \( x \in \left[ -\frac{5}{3}; 3 \right) \).

Ответ: \( \left[ -\frac{5}{3}; 3 \right) \).

Выражение 3) \( \sqrt{2x — 4} + \sqrt{1 — x} \) содержит два корня, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны.

Первое условие: \( 2x — 4 \geq 0 \). Решаем: \( 2x \geq 4 \), откуда \( x \geq 2 \).

Второе условие: \( 1 — x \geq 0 \). Решаем: \( x \leq 1 \).

Для существования выражения одновременно необходимо, чтобы \( x \) удовлетворял обоим условиям, то есть \( x \geq 2 \) и \( x \leq 1 \). Но таких чисел не существует, поскольку \( 2 > 1 \).

Значит, область определения пустая.

Ответ: пустое множество.

Выражение 4) \( \sqrt{12 — 3x} — \frac{5}{x — 4} \) содержит корень и дробь. Для существования выражения необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательно, а знаменатель не равнялся нулю.

Рассмотрим подкоренное выражение: \( 12 — 3x \geq 0 \). Решаем: \( 12 \geq 3x \), откуда \( x \leq 4 \).

Знаменатель равен \( x — 4 \), он не должен быть равен нулю, значит \( x \neq 4 \).

Область определения — множество всех \( x \), для которых \( x \leq 4 \), но исключая точку \( x = 4 \). То есть \( (-\infty; 4) \).

Ответ: \( (-\infty; 4) \).