ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 20 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что сумма любых двух взаимно обратных положительных чисел не меньше чем 2.

Даны числа: \( a > 0 \), тогда \( \frac{1}{a} > 0 \).

Докажем неравенство: \( a + \frac{1}{a} \geq 2 \).

Умножим обе части на \( a \) (так как \( a > 0 \), знак не меняется):
\( a^2 + 1 \geq 2a \).

Перенесём все в одну сторону:
\( a^2 — 2a + 1 \geq 0 \).

Это квадрат разности:
\( (a — 1)^2 \geq 0 \).

Неравенство верно, значит доказано.

Пусть \( a > 0 \). Тогда число \( \frac{1}{a} \) тоже положительно, так как деление положительного числа на положительное число даёт положительный результат.

Нужно доказать неравенство \( a + \frac{1}{a} \geq 2 \).

Для этого умножим обе части неравенства на \( a \). Поскольку \( a > 0 \), знак неравенства при умножении не меняется. Получаем:
\( a \cdot a + a \cdot \frac{1}{a} \geq 2 \cdot a \), то есть
\( a^2 + 1 \geq 2a \).

Перенесём все члены в левую часть:
\( a^2 — 2a + 1 \geq 0 \).

Выражение слева можно представить как квадрат разности:
\( (a — 1)^2 \geq 0 \).

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, значит \( (a — 1)^2 \geq 0 \) верно для всех \( a \).

Следовательно, исходное неравенство \( a + \frac{1}{a} \geq 2 \) тоже верно для всех положительных \( a \).