ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 203 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((x — 3)(x + 4) \leq 0;\)

2) \((x + 1)(2x — 7) > 0;\)

3) \(\frac{x — 8}{x — 1} > 0;\)

4) \(\frac{3x + 6}{x — 9} < 0;\)

5) \(\frac{2x — 1}{x + 2} \leq 0;\)

6) \(\frac{5x + 4}{x — 6} \geq 0.\)

1) \((x-3)(x+4) \leq 0\)
Корни: \(x=3\), \(x=-4\).
Произведение \(\leq 0\), если \(-4 \leq x \leq 3\).
Ответ: \((-4; 3)\).

2) \((x+1)(2x-7) > 0\)
Корни: \(x=-1\), \(x=3.5\).
Произведение > 0, если \(x < -1\) или \(x > 3.5\).
Ответ: \((-\infty; -1) \cup (3.5; +\infty)\).

3) \(\frac{x-8}{x-1} > 0\)
Знаменатель не равен 0, \(x \neq 1\).
Числитель и знаменатель одного знака: \(x < 1\) или \(x > 8\).
Ответ: \((-\infty; 1) \cup (8; +\infty)\).

4) \(\frac{3x+6}{x-9} < 0\)
Корень числителя: \(x = -2\).
Дробь < 0, если \( -2 < x < 9\).
Ответ: \((-2; 9)\).

5) \(\frac{2x-1}{x+2} \leq 0\)
Корень числителя: \(x=0.5\).
Дробь \(\leq 0\), если \(-2 < x \leq 0.5\).
Ответ: \((-2; 0.5]\).

6) \(\frac{5x+4}{x-6} \geq 0\)
Корень числителя: \(x=-0.8\).
Дробь \(\geq 0\), если \(x \leq -0.8\) или \(x > 6\).
Ответ: \((-\infty; -0.8] \cup (6; +\infty)\).

1) Решаем неравенство \((x-3)(x+4) \leq 0\). Сначала находим корни уравнения \(x-3=0\) и \(x+4=0\), они равны \(x=3\) и \(x=-4\). Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: \((-\infty; -4)\), \((-4; 3)\), \((3; +\infty)\). Проверим знак произведения на каждом из них. Для \(x < -4\) оба множителя отрицательны, произведение положительно. Для \(-4 < x < 3\) один множитель отрицателен, другой положителен, произведение отрицательно. Для \(x > 3\) оба множителя положительны, произведение положительно. Так как неравенство \(\leq 0\), то решение включает промежуток, где произведение отрицательно или равно нулю, то есть \(-4 \leq x \leq 3\).

2) Решаем неравенство \((x+1)(2x-7) > 0\). Корни уравнений: \(x=-1\) и \(x= \frac{7}{2} = 3.5\). Они делят ось на три части: \((-\infty; -1)\), \((-1; 3.5)\), \((3.5; +\infty)\). Проверим знаки: для \(x < -1\) оба множителя отрицательны, произведение положительно; на промежутке \(-1 < x < 3.5\) множители имеют разные знаки, произведение отрицательно; для \(x > 3.5\) оба множителя положительны, произведение положительно. Значит, решение — \(x < -1\) или \(x > 3.5\).

3) Решаем неравенство \(\frac{x-8}{x-1} > 0\). Знаменатель не равен нулю, значит \(x \neq 1\). Числитель и знаменатель должны быть одного знака. Рассмотрим два случая: оба положительны — \(x-8 > 0\) и \(x-1 > 0\), отсюда \(x > 8\); оба отрицательны — \(x-8 < 0\) и \(x-1 < 0\), значит \(x < 1\). Ответ: \(x < 1\) или \(x > 8\).

4) Решаем неравенство \(\frac{3x+6}{x-9} < 0\). Корень числителя \(3x+6=0\) при \(x=-2\). Знаменатель не равен нулю, \(x \neq 9\). Дробь отрицательна, если числитель и знаменатель разных знаков. Рассмотрим два варианта: числитель положителен, знаменатель отрицателен — \(x > -2\) и \(x < 9\), то есть \( -2 < x < 9\); или числитель отрицателен, знаменатель положителен — \(x < -2\) и \(x > 9\), что невозможно. Значит, ответ: \(-2 < x < 9\).

5) Решаем неравенство \(\frac{2x-1}{x+2} \leq 0\). Корень числителя \(2x-1=0\) при \(x=0.5\). Знаменатель не равен нулю, \(x \neq -2\). Дробь \(\leq 0\) означает, что дробь либо равна нулю, либо отрицательна. Рассмотрим случаи: дробь равна нулю при \(x=0.5\). Для отрицательности числитель и знаменатель разных знаков: \(2x-1 < 0\) и \(x+2 > 0\), то есть \(x < 0.5\) и \(x > -2\), или \(x\) лежит в интервале \(-2 < x < 0.5\). Другой вариант невозможен. Итог: \(-2 < x \leq 0.5\).

6) Решаем неравенство \(\frac{5x+4}{x-6} \geq 0\). Корень числителя \(5x+4=0\) при \(x = -\frac{4}{5} = -0.8\). Знаменатель не равен нулю, \(x \neq 6\). Дробь \(\geq 0\), если числитель и знаменатель одного знака. Рассмотрим два случая: \(5x+4 \geq 0\) и \(x-6 > 0\), то есть \(x \geq -0.8\) и \(x > 6\), в итоге \(x > 6\); или \(5x+4 \leq 0\) и \(x-6 < 0\), то есть \(x \leq -0.8\) и \(x < 6\), в итоге \(x \leq -0.8\). Ответ: \(x \leq -0.8\) или \(x > 6\).