ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 204 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((14 — 7x)(x + 3) > 0;\)

2) \(\frac{x — 8}{3x — 12} > 0;\)

3) \(\frac{5x — 6}{x + 9} \geq 0;\)

4) \(\frac{4x + 1}{x — 10} \leq 0.\)

1) \( (14 — 7x)(x + 3) > 0 \)

\( 14 — 7x = 7(2 — x) \), значит \( (2 — x)(x + 3) > 0 \)

Нули: \( x = 2 \), \( x = -3 \)

Знак произведения положителен на промежутке \( -3 < x < 2 \)

Ответ: \( (-3; 2) \)

2) \( \frac{x — 8}{3x — 12} > 0 \)

Знаменатель: \( 3x — 12 = 3(x — 4) \)

Нули: \( x = 8 \), \( x = 4 \) (запрещено)

Положительно, если \( x < 4 \) или \( x > 8 \)

Ответ: \( (-\infty; 4) \cup (8; +\infty) \)

3) \( \frac{5x — 6}{x + 9} \geq 0 \)

Нули: \( x = \frac{6}{5} = 1,2 \), \( x = -9 \) (запрещено)

Положительно или равно нулю при \( x < -9 \) или \( x \geq 1,2 \)

Ответ: \( (-\infty; -9) \cup [1,2; +\infty) \)

4) \( \frac{4x + 1}{x — 10} \leq 0 \)

Нули: \( x = -0,25 \), \( x = 10 \) (запрещено)

Отрицательно или равно нулю при \( -0,25 \leq x < 10 \)

Ответ: \( [-0,25; 10) \)

1) Рассмотрим неравенство \( (14 — 7x)(x + 3) > 0 \). Сначала упростим первый множитель: \( 14 — 7x = 7(2 — x) \). Значит, неравенство перепишется как \( (2 — x)(x + 3) > 0 \).

Найдём нули каждого множителя: \( 2 — x = 0 \) при \( x = 2 \), и \( x + 3 = 0 \) при \( x = -3 \). Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: \( (-\infty; -3) \), \( (-3; 2) \), \( (2; +\infty) \).

Проверим знак произведения на каждом промежутке. Для \( x < -3 \) первый множитель \( 2 — x > 0 \), второй множитель \( x + 3 < 0 \), их произведение отрицательное. Для \( -3 < x < 2 \) оба множителя положительны, произведение положительное. Для \( x > 2 \) первый множитель отрицателен, второй положителен, произведение отрицательное.

Ответ: \( (-3; 2) \).

2) Рассмотрим неравенство \( \frac{x — 8}{3x — 12} > 0 \). Упростим знаменатель: \( 3x — 12 = 3(x — 4) \).

Нули числителя и знаменателя: \( x = 8 \), \( x = 4 \) (запрещено, так как деление на ноль).

Разобьём ось на три промежутка: \( (-\infty; 4) \), \( (4; 8) \), \( (8; +\infty) \).

Проверим знак дроби: для \( x < 4 \) числитель отрицателен, знаменатель отрицателен, дробь положительна. Для \( 4 < x < 8 \) числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна. Для \( x > 8 \) числитель и знаменатель положительны, дробь положительна.

Ответ: \( (-\infty; 4) \cup (8; +\infty) \).

3) Рассмотрим неравенство \( \frac{5x — 6}{x + 9} \geq 0 \).

Нули числителя и знаменателя: \( 5x — 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{6}{5} = 1,2 \), \( x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9 \) (запрещено).

Промежутки: \( (-\infty; -9) \), \( (-9; 1,2) \), \( (1,2; +\infty) \).

Проверим знак: для \( x < -9 \) числитель отрицателен, знаменатель отрицателен, дробь положительна. Для \( -9 < x < 1,2 \) числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна. Для \( x > 1,2 \) числитель и знаменатель положительны, дробь положительна. В точке \( x = 1,2 \) дробь равна нулю, подходит по условию.

Ответ: \( (-\infty; -9) \cup [1,2; +\infty) \).

4) Рассмотрим неравенство \( \frac{4x + 1}{x — 10} \leq 0 \).

Нули числителя и знаменателя: \( 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = -0,25 \), \( x — 10 = 0 \Rightarrow x = 10 \) (запрещено).

Промежутки: \( (-\infty; -0,25) \), \( (-0,25; 10) \), \( (10; +\infty) \).

Проверим знак: для \( x < -0,25 \) числитель отрицателен, знаменатель отрицателен, дробь положительна. Для \( -0,25 < x < 10 \) числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна. Для \( x > 10 \) числитель и знаменатель положительны, дробь положительна. В точке \( x = -0,25 \) дробь равна нулю, подходит по условию.

Ответ: \( [-0,25; 10) \).