ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 205 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(|x — 2| \leq 3.6;\)

2) \(|2x + 3| < 5;\)

3) \(|x + 3| > 9;\)

4) \(|7 — 3x| \geq 1;\)

5) \(|x + 3| + 2x \geq 6;\)

6) \(|x — 4| — 6x < 15.\)

1) \( |x — 2| \leq 3{,}6 \)
\(-3{,}6 \leq x — 2 \leq 3{,}6\)
\(-1{,}6 \leq x \leq 5{,}6\)
Ответ: \([-1{,}6; 5{,}6]\).

2) \( |2x + 3| < 5 \)
\(-5 < 2x + 3 < 5\)
\(-8 < 2x < 2\)
\(-4 < x < 1\)
Ответ: \((-4; 1)\).

3) \( |x + 3| > 9 \)
\(x + 3 < -9\) или \(x + 3 > 9\)
\(x < -12\) или \(x > 6\)
Ответ: \((-\infty; -12) \cup (6; +\infty)\).

4) \( |7 — 3x| \geq 1 \)
\(7 — 3x \leq -1\) или \(7 — 3x \geq 1\)
\(-3x \leq -8\) или \(-3x \geq -6\)
\(x \geq \frac{8}{3}\) или \(x \leq 2\)
Ответ: \((-\infty; 2] \cup \left[\frac{8}{3}; +\infty\right)\).

5) \( |x + 3| + 2x \geq 6 \)
\( |x + 3| \geq 6 — 2x \)
Если \(x + 3 \geq 0\), то \(x + 3 \geq 6 — 2x\), значит \(3x \geq 3\), \(x \geq 1\).
Если \(x + 3 < 0\), то \(-(x + 3) \geq 6 — 2x\), значит \(x \geq 9\), но \(x < -3\) — противоречие.
Ответ: \([1; +\infty)\).

6) \( |x — 4| — 6x < 15 \)
\( |x — 4| < 15 + 6x \)
Если \(x — 4 \geq 0\), то \(x — 4 < 15 + 6x\), значит \(x > -\frac{19}{5}\).
Если \(x — 4 < 0\), то \(-(x — 4) < 15 + 6x\), значит \(x > -\frac{11}{7}\).
Ответ: \(\left(-\infty; 2\right] \cup \left[\frac{2}{3}; +\infty\right)\).

1) Рассмотрим неравенство \( |x — 2| \leq 3{,}6 \). Модуль числа показывает его расстояние от нуля на числовой оси, поэтому неравенство \( |x — 2| \leq 3{,}6 \) означает, что расстояние между числом \(x\) и числом 2 не превышает 3{,}6. Это можно записать как двойное неравенство:
\(-3{,}6 \leq x — 2 \leq 3{,}6\). Чтобы избавиться от выражения внутри модуля, мы рассматриваем оба предела. Теперь нужно найти \(x\), поэтому прибавим 2 ко всем частям неравенства:
\(-3{,}6 + 2 \leq x \leq 3{,}6 + 2\), что даёт \(-1{,}6 \leq x \leq 5{,}6\). Таким образом, все значения \(x\) в этом промежутке удовлетворяют исходному неравенству.
Ответ: \([-1{,}6; 5{,}6]\).

2) Для неравенства \( |2x + 3| < 5 \) модуль меньше числа 5 означает, что выражение \(2x + 3\) находится строго между \(-5\) и \(5\). Записываем двойное неравенство:
\(-5 < 2x + 3 < 5\). Чтобы найти \(x\), сначала вычтем 3 из всех частей:
\(-5 — 3 < 2x < 5 — 3\), то есть \(-8 < 2x < 2\). Теперь делим все части на 2, учитывая, что при делении на положительное число знак не меняется:
\(-4 < x < 1\). Значит, все \(x\), которые лежат между \(-4\) и \(1\), удовлетворяют условию.
Ответ: \((-4; 1)\).

3) Решаем неравенство \( |x + 3| > 9 \). Здесь модуль выражения больше 9, значит расстояние числа \(x + 3\) от нуля больше 9. Это возможно в двух случаях: либо \(x + 3\) меньше \(-9\), либо больше \(9\). Записываем:
\(x + 3 < -9\) или \(x + 3 > 9\). Решаем каждое неравенство отдельно:
\(x < -12\) или \(x > 6\). Это означает, что решения лежат вне промежутка от \(-12\) до \(6\).
Ответ: \((-\infty; -12) \cup (6; +\infty)\).

4) Рассмотрим неравенство \( |7 — 3x| \geq 1 \). Модуль больше или равен 1 значит, что выражение \(7 — 3x\) либо меньше или равно \(-1\), либо больше или равно \(1\). Запишем:
\(7 — 3x \leq -1\) или \(7 — 3x \geq 1\).
Решим первое:
\(-3x \leq -8\), делим на \(-3\) и меняем знак неравенства:
\(x \geq \frac{8}{3}\).
Второе:
\(-3x \geq -6\), делим на \(-3\) и меняем знак:
\(x \leq 2\).
Таким образом, решения — это объединение двух множеств: \(x \leq 2\) и \(x \geq \frac{8}{3}\).
Ответ: \((-\infty; 2] \cup \left[\frac{8}{3}; +\infty\right)\).

5) Для неравенства \( |x + 3| + 2x \geq 6 \) сначала перенесём \(2x\) вправо:
\( |x + 3| \geq 6 — 2x \). Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем.
Если \(x + 3 \geq 0\), то \( |x + 3| = x + 3\), тогда неравенство становится:
\(x + 3 \geq 6 — 2x\), что даёт \(3x \geq 3\), значит \(x \geq 1\).
Если \(x + 3 < 0\), то \( |x + 3| = -(x + 3)\), тогда:
\(-(x + 3) \geq 6 — 2x\), что даёт \(x \geq 9\). Но условие \(x + 3 < 0\) означает \(x < -3\), что противоречит \(x \geq 9\). Значит решений в этом случае нет.
Ответ: \([1; +\infty)\).

6) Рассмотрим неравенство \( |x — 4| — 6x < 15 \). Перенесём \(6x\) вправо:
\( |x — 4| < 15 + 6x \). Рассмотрим два случая.
Если \(x — 4 \geq 0\), то \( |x — 4| = x — 4\), значит:
\(x — 4 < 15 + 6x\), что даёт \(-5x < 19\), то есть \(x > -\frac{19}{5}\). При этом \(x \geq 4\), поэтому в этом случае \(x \geq 4\).
Если \(x — 4 < 0\), то \( |x — 4| = -(x — 4) = 4 — x\), значит:
\(4 — x < 15 + 6x\), что даёт \(-7x < 11\), то есть \(x > -\frac{11}{7}\). При этом \(x < 4\), значит \( -\frac{11}{7} < x < 4\).
Объединяя оба случая, получаем:
\(\left(-\frac{11}{7}; +\infty\right)\).