ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 206 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(|x — 6| \geq 2.4;\)

2) \(|5x + 8| \leq 2;\)

3) \(|x + 5| — 3x > 4;\)

4) \(|x — 1| + x \leq 3.\)

1) \( |x — 6| \geq 2,4 \)
\( x — 6 \leq -2,4 \), \( x \leq 3,6 \)
\( x — 6 \geq 2,4 \), \( x \geq 8,4 \)
Ответ: \( (-\infty; 3,6] \cup [8,4; +\infty) \)

2) \( |5x + 8| \leq 2 \)
\(-2 \leq 5x + 8 \leq 2 \)
\(-10 \leq 5x \leq -6 \)
\(-2 \leq x \leq -\frac{6}{5} = -1,2 \)
Ответ: \( [-2; -1,2] \)

3) \( |x + 5| — 3x > 4 \)
\( |x + 5| > 3x + 4 \)
Первое неравенство: \( x + 5 > 3x + 4 \) при \( x \geq -5 \)
\( 2x < 1 \), \( x < 0,5 \)
Второе неравенство: \( -(x + 5) > 3x + 4 \) при \( x < -5 \)
\( -x — 5 > 3x + 4 \), \( 4x < -9 \), \( x < -2,25 \)
Ответ: \( (-\infty; 0,5) \)

4) \( |x — 1| + x \leq 3 \)
\( |x — 1| \leq 3 — x \), \( 3 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3 \)
Первое неравенство: \( x — 1 \leq 3 — x \) при \( x \geq 1 \)
\( 2x \leq 4 \), \( x \leq 2 \)
Второе неравенство: \( -(x — 1) \leq 3 — x \) при \( x < 1 \)
\( -x + 1 \leq 3 — x \), \( 1 \leq 3 \) — всегда верно
Ответ: \( (-\infty; 2] \)

1) Рассмотрим неравенство \( |x — 6| \geq 2,4 \). По определению модуля, это неравенство равносильно двум: \( x — 6 \leq -2,4 \) или \( x — 6 \geq 2,4 \). Решаем первое: \( x \leq 6 — 2,4 = 3,6 \). Решаем второе: \( x \geq 6 + 2,4 = 8,4 \). Значит, решение — все \( x \), которые меньше или равны \( 3,6 \), и все \( x \), которые больше или равны \( 8,4 \), то есть \( (-\infty; 3,6] \cup [8,4; +\infty) \).

2) Рассмотрим неравенство \( |5x + 8| \leq 2 \). По свойству модуля это значит, что \( -2 \leq 5x + 8 \leq 2 \). Вычитаем 8 из всех частей: \( -10 \leq 5x \leq -6 \). Делим на 5: \( -2 \leq x \leq -\frac{6}{5} = -1,2 \). Значит, ответ \( [-2; -1,2] \).

3) Неравенство \( |x + 5| — 3x > 4 \) перепишем как \( |x + 5| > 3x + 4 \). Рассмотрим два случая. Первый: \( x + 5 \geq 0 \), значит \( |x + 5| = x + 5 \). Тогда \( x + 5 > 3x + 4 \), откуда \( 2x < 1 \), то есть \( x < 0,5 \). При этом \( x \geq -5 \) (условие для первого случая). Второй случай: \( x + 5 < 0 \), значит \( |x + 5| = -(x + 5) = -x — 5 \). Тогда неравенство становится \( -x — 5 > 3x + 4 \), то есть \( 4x < -9 \), откуда \( x < -\frac{9}{4} = -2,25 \). При этом \( x < -5 \). Поскольку \( x < -5 \) уже меньше чем \( -2,25 \), второй случай даёт \( x < -5 \). Объединяем: \( x < 0,5 \).

4) Рассмотрим неравенство \( |x — 1| + x \leq 3 \). Перепишем как \( |x — 1| \leq 3 — x \). Чтобы правая часть была неотрицательной, нужно \( 3 — x \geq 0 \), то есть \( x \leq 3 \). Рассмотрим два случая. Первый: \( x — 1 \geq 0 \), тогда \( |x — 1| = x — 1 \). Неравенство: \( x — 1 \leq 3 — x \), откуда \( 2x \leq 4 \), значит \( x \leq 2 \) при условии \( x \geq 1 \). Второй случай: \( x — 1 < 0 \), тогда \( |x — 1| = 1 — x \). Неравенство: \( 1 — x \leq 3 — x \), что всегда верно. При этом \( x < 1 \) и \( x \leq 3 \). Значит, решение второго случая — все \( x < 1 \). Объединяем оба случая: \( (-\infty; 2] \).