ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 207 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) имеет хотя бы одно решение система неравенств:

1) \(\begin{cases} x \geq 3, \\ x < a; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} x \leq 3, \\ x \geq a? \end{cases}\)

1) Система
\(\begin{cases} x \geq 3, \\ x < a \end{cases}\)
Решения есть, если существует \(x\), для которого \(3 \leq x < a\). Значит,
\(a > 3\).

2) Система
\(\begin{cases} x \leq 3, \\ x \geq a \end{cases}\)
Решения есть, если существует \(x\), для которого \(a \leq x \leq 3\). Значит,
\(a \leq 3\).

Рассмотрим первую систему неравенств:
\(\begin{cases} x \geq 3, \\ x < a \end{cases}\).
Здесь нам нужно найти все такие значения \(x\), которые одновременно удовлетворяют обоим условиям.

Первое неравенство говорит, что \(x\) должно быть больше или равно 3, то есть \(x \geq 3\). Второе неравенство требует, чтобы \(x\) было строго меньше \(a\), то есть \(x < a\).

Чтобы система имела решение, должен существовать хотя бы один \(x\), который одновременно больше или равен 3 и меньше \(a\). Значит, существует число \(x\), для которого выполняется
\(3 \leq x < a\).

Это возможно, если верхняя граница \(a\) строго больше 3. Если \(a \leq 3\), то не найдется числа, которое было бы одновременно и больше или равно 3, и меньше \(a\). Следовательно, для существования решений системы необходимо и достаточно, чтобы
\(a > 3\).

Теперь рассмотрим вторую систему:
\(\begin{cases} x \leq 3, \\ x \geq a \end{cases}\).
Здесь нужно найти все такие значения \(x\), которые одновременно меньше или равны 3 и больше или равны \(a\).

Первое неравенство говорит, что \(x \leq 3\), второе — что \(x \geq a\).

Для существования решения должен быть хотя бы один \(x\), для которого
\(a \leq x \leq 3\).

Это возможно, если нижняя граница \(a\) не больше 3, то есть
\(a \leq 3\).

Итог:
Для первой системы решения есть, если \(a > 3\).
Для второй системы решения есть, если \(a \leq 3\).