ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 209 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) множеством решений системы неравенств

\(\begin{cases} x > -1, \\ x \geq a \end{cases}\) является промежуток:

1) \((-1; +\infty);\)

2) \([1; +\infty)?\)

Дана система:
\(\begin{cases} x > -1, \\ x \geq a \end{cases}\)

1) Если \(x \in (-1; +\infty)\), то \(x > -1\) и \(a \leq -1\).
Ответ: \((- \infty; -1]\).

2) Если \(x \in [1; +\infty)\), то \(x \geq 1\) и \(a = 1\).
Ответ: \(\{1\}\).

Дана система неравенств:
\(\begin{cases} x > -1, \\ x \geq a \end{cases}\).

Пересечение множеств решений системы — это все \(x\), которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно.

Первое неравенство задаёт множество всех чисел, больших \(-1\), то есть \(x \in (-1; +\infty)\).

Второе неравенство задаёт множество всех чисел, больших или равных \(a\), то есть \(x \in [a; +\infty)\).

Пересечение этих множеств — это числа, которые одновременно больше \(-1\) и не меньше \(a\).

1) Если множество решений системы равно \( (-1; +\infty) \), значит пересечение должно совпадать с \( (-1; +\infty) \).

Это возможно, если \(a \leq -1\), потому что тогда множество \( [a; +\infty) \) включает все числа, начиная с \(a\), которые не сужают интервал \( (-1; +\infty) \).

То есть для первого случая \(a \leq -1\).

2) Если множество решений системы равно \( [1; +\infty) \), значит пересечение множеств \( (-1; +\infty) \cap [a; +\infty) = [1; +\infty) \).

Это возможно, если \(a = 1\), потому что тогда пересечение будет именно \( [1; +\infty) \).

Таким образом, значения \(a\) для каждого случая: