ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что сумма любых двух взаимно обратных отрицательных чисел не больше чем -2.

Даны числа \(a < 0\) и \(\frac{1}{a} < 0\). Докажем неравенство:
\(a + \frac{1}{a} \leq -2\).

Перенесём всё в одну сторону:
\(a + \frac{1}{a} + 2 \leq 0\).

Умножим на \(a\) (так как \(a < 0\), знак неравенства поменяется):
\(a^2 + 1 + 2a \geq 0\).

Запишем в виде квадрата:
\(a^2 + 2a + 1 \geq 0\).

Это то же самое, что
\((a + 1)^2 \geq 0\).

Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство доказано.

Дано, что \(a < 0\) и \(\frac{1}{a} < 0\). Нужно доказать неравенство \(a + \frac{1}{a} \leq -2\).

Для начала перенесём все члены в одну сторону:
\(a + \frac{1}{a} + 2 \leq 0\).

Чтобы избавиться от дроби, умножим всё неравенство на \(a\). Поскольку \(a\) отрицательно, знак неравенства поменяется на противоположный:
\(a \cdot a + a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot 2 \geq 0\), то есть
\(a^{2} + 1 + 2a \geq 0\).

Перегруппируем члены:
\(a^{2} + 2a + 1 \geq 0\).

Заметим, что выражение слева является полным квадратом:
\((a + 1)^{2} \geq 0\).

Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, значит неравенство верно для всех \(a\).

Так как \(a < 0\), исходное неравенство \(a + \frac{1}{a} \leq -2\) доказано.