ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что сумма любых двух взаимно обратных отрицательных чисел не больше чем -2.

Даны числа \(a < 0\) и \(\frac{1}{a} < 0\). Докажем неравенство:
\(a + \frac{1}{a} \leq -2\).

Перенесём всё в одну сторону:
\(a + \frac{1}{a} + 2 \leq 0\).

Умножим на \(a\) (так как \(a < 0\), знак неравенства поменяется):
\(a^2 + 1 + 2a \geq 0\).

Запишем в виде квадрата:
\(a^2 + 2a + 1 \geq 0\).

Это то же самое, что
\((a + 1)^2 \geq 0\).

Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство доказано.

Рассмотрим подробнее данное неравенство при условии, что \(a < 0\) и \(\frac{1}{a} < 0\). Первое условие \(a < 0\) означает, что число \(a\) отрицательное. Из этого следует, что обратное число \(\frac{1}{a}\) также отрицательно, что подтверждается вторым условием. Таким образом, оба слагаемых \(a\) и \(\frac{1}{a}\) отрицательны, и нам нужно доказать, что их сумма не превышает \(-2\), то есть \(a + \frac{1}{a} \leq -2\).

Начнём с преобразования данного неравенства. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить выражение, удобное для анализа:
\[
a + \frac{1}{a} + 2 \leq 0.
\]
Это важно, потому что теперь мы можем попытаться избавиться от дроби, умножив обе части неравенства на \(a\). Однако, поскольку \(a < 0\), при умножении неравенство меняет знак на противоположный. Это фундаментальное свойство неравенств: при умножении на отрицательное число знак меняется. Получаем:
\[
a \cdot a + a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot 2 \geq 0,
\]
что упрощается до
\[
a^{2} + 1 + 2a \geq 0.
\]

Теперь сгруппируем члены в левой части, чтобы увидеть структуру выражения:
\[
a^{2} + 2a + 1 \geq 0.
\]
Это выражение представляет собой полный квадрат, который можно записать как
\[
(a + 1)^{2} \geq 0.
\]
Известно, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть он либо равен нулю, либо положителен. Следовательно, неравенство \( (a + 1)^{2} \geq 0 \) верно для всех значений \(a\).

Поскольку мы начали с предположения, что \(a < 0\), и получили, что преобразованное неравенство эквивалентно \( (a + 1)^{2} \geq 0 \), то исходное неравенство
\[
a + \frac{1}{a} \leq -2
\]
также верно при \(a < 0\). Это доказывает утверждение. Таким образом, мы показали, что сумма отрицательного числа и его обратного числа не может быть больше \(-2\), и в этом случае достигается равенство только при \(a = -1\), когда \( (a + 1)^2 = 0 \).